2026年3月广东广州市一模数学试卷 #8
在正三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$AB=2$，$AA_1=1$，点 $D$ 是平面 $ABC$ 上的动点，则 $A_1 D+\dfrac{\sqrt 2}2 CD$ 的最小值是（ ）
A．$\dfrac{5\sqrt 2}4$
B．$\dfrac{3\sqrt 2}2$
C．$\dfrac{5\sqrt 3}4$
D．$\dfrac{3\sqrt 3}2$
答案 B．
解析 设 $D$ 在 $AC$ 上的投影为 $H$，则\[A_1D+\frac{\sqrt 2}2CD\geqslant A_1H+\frac{\sqrt 2}2CH,\]于是只需要考虑 $D$ 在直线 $AC$ 上运动的情形．在平面 $ACC_1A_1$ 上，作与直线 $AC$ 夹角为 $45^\circ$ 且在直线 $AC$ 与 $A_1$ 异侧的射线，如图．
根据将军饮马模型，有\[\begin{split} A_1D+\dfrac{\sqrt 2}2CD&=A_1D+d(D,Cx)\\ &\geqslant d(A_1,Cx)\\ &=A_1K=\sin\left(45^\circ+\angle A_1CA\right)\cdot A_1C\\ &=\sin\left(45^\circ+\arctan\frac 12\right)\cdot \sqrt 5\\ &=^{[1]}\dfrac{3\sqrt 2}2,\end{split}\]其中 $x$ 取决于投影垂足所在射线，$K$ 为 $A_1$ 在 $Cs$ 上的投影，因此所求最小值为 $\dfrac{3\sqrt 2}2$．