2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #11
已知直线 $l$ 与圆 $C:(x-5)^2+y^2=9$ 相切于点 $P$，与抛物线 $E: y^2=2 x$ 相交于 $M,N$ 两点，点 $F$ 为拋物线 $E$ 的焦点．下列说法正确的是（ ）
A．记点 $M$ 的横坐标为 $x_M$，则 $|MP|=\left|x_M-4\right|$
B．$|MN|$ 的最小值为 $4$
C．当点 $P$ 在直线 $x=4$ 的左侧时，$\triangle MNF$ 的周长为定值 $9$
D．当点 $P$ 在直线 $x=4$ 的右侧时，$\triangle MNF$ 的周长有最小值 $25$
答案 AC．
解析 如图，设点 $M,N$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$．
对于选项 $\boxed{A}$，根据题意，有\[ |MP|^2=|MC|^2-r^2=(x_1-5)^2+y_1^2-9=(x_1-5)^2+2x_1-9=(x_1-4)^2,\] 选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，圆 $C$ 与抛物线相切于 $(4,\pm 2\sqrt 2)$，当 $P$ 趋于抛物线与圆的切点时，$|MN|$ 趋于 $0$，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，当点 $P$ 在直线 $x=4$ 左侧时，有\[|FM|+|MP|=\left(x_1+\frac 12\right)+\left(4-x_1\right)=\frac 92,\]同理，有 $|FN|+|NP|=\frac 92$，因此 $\triangle MNF$ 的周长为定值 $9$，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，当点 $P$ 在直线 $x=4$ 右侧时，$\triangle MNF$ 的周长为\[\left(x_1+\frac 12\right)+\left(x_1-4\right)+\left(x_2+\frac 12\right)+\left(x_2-4\right)=2(x_1+x_2)-7,\]当点 $P$ 趋于抛物线与圆的切点时，有 $x_1,x_2\to 4$，$\triangle MNF$ 的周长趋于 $9$，选项错误；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$．