已知抛物线 $y^2=2x$，过定点 $(1,0)$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，坐标原点 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，直线 $CA,CB$ 分别交 $y$ 轴于点 $M,N$，设 $ \triangle CMN,\triangle AOB $ 的面积分别为 $ S_1,S_2 $，则 $ \dfrac{S_1}{S_2}$ 的取值范围是_____．
答案 $\left[\dfrac 43,\dfrac 32\right)$．
解析 设 $A(2a^2,2a),B(2b^2,2b)$，则由 $C$ 是 $\triangle ABC$ 的重心可得 $C\big(-2(a^2+b^2),-2(a+b)\big)$，进而根据截距坐标公式，有 $M,N$ 点的纵坐标分别是 $\dfrac{2ab(b-a)}{2a^2+b^2},\dfrac{2ab(a-b)}{a^2+2b^2}$，而根据抛物线的平均性质，有 $2ab=-1$，因此\[\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac 12\cdot \left(\frac{2ab(b-a)}{2a^2+b^2}-\frac{2ab(a-b)}{a^2+2b^2}\right)\cdot 2(a^2+b^2) }{\frac 12\cdot 1\cdot \left(2a-2b\right) }=\dfrac{3(a^2+b^2)^2}{(2a^2+b^2)(a^2+2b^2)}=\dfrac{3(a^2+b^2)^2}{2(a^2+b^2)^2+\frac14},\]而\[a^2+b^2\geqslant 2|ab|=1,\]因此所求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 43,\dfrac 32\right)$．