已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，$C$ 是抛物线上的动点，且 $\triangle ABC$ 的重心在 $x$ 轴上，$E$ 点是 $x$ 轴上位于 $F$ 右侧的点，设 $S_1,S_2$ 分别是 $\triangle AFG,\triangle CEG$ 的面积，则 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值为_____，当 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 取得最小值时点 $G$ 的横坐标为_____．
答案 $1+\dfrac{\sqrt 3}2,2$．
解析 不妨设 $A(4a^2,4a),B(4b^2,-4b),C(4c^2,-4c)$，且 $a,b,c>0$，则\[\begin{cases} 4ab=1,\\ a-b-c=0,\end{cases}\iff \begin{cases} 4b(b+c)=1,\\ a=b+c,\end{cases}\]进而\[\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{[\triangle AFG]}{[\triangle ABG]}\cdot \dfrac{[\triangle AGC]}{[\triangle CEG]}=\dfrac{|AF|}{|AB|}\cdot \dfrac{|CA|}{|CE|}=\dfrac{a(a+c)}{c(a+b)}=\dfrac{(b+c)(b+2c)}{c(2b+c)}=\dfrac{u^2+4u+3}{4u}\geqslant 1+\dfrac{\sqrt 3}2,\]其中 $u=\frac{2b}c+1$，等号当 $u=\sqrt 3$ 时取得，而\[\begin{cases} 4b(b+c)=1,\\ \frac{2b}{c}+1=\sqrt 3,\\ a=b+c,\end{cases}\iff (a,b,c)=\left(\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}4,\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}4,\frac{\sqrt 2}2\right),\]于是 $G$ 点的横坐标为\[\dfrac{4a^2+4b^2+4c^2}3=2.\]