已知椭圆 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$ 上的点 $A(\sqrt 2,\sqrt 2),B(2,-1)$，$P$ 为椭圆上的动点，延长线段 $AO,BO$ 分别与线段 $PB,PA$ 交于点 $M,N$，求证：$|AM|\cdot |BN|$ 为定值．
答案 为定值 $4\sqrt 5$．
解析 注意到 $OA,OB$ 的斜率之积为 $\dfrac 12$，于是 $OA,OB$ 是共轭半径，在伸缩变换 $(x',y')=(x,\sqrt 2y)$ 下，有 $OA'\perp OB'$，此时设 $\angle P'A'O=\alpha$，$\angle P'B'O=\beta$，$|OA'|=|OB'|=r$，则 $\alpha+\beta=45^\circ$，且\[|A'M'|\cdot |B'N'|=r^2\cdot (1+\tan\alpha)\cdot (1+\tan\beta)=r^2\cdot (1+\tan\alpha+\tan\beta+\tan\alpha\tan\beta)=2r^2,\]为定值．
以 $A,B$ 为参考点，设直线 $PA,PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则\[2k_1k_2-\sqrt 2(k_1-k_2)+1=0\implies k_1=\dfrac{-\sqrt 2k_2-1}{2k_2-\sqrt 2},\]联立直线 $AO,PB$ 的方程，可得\[\begin{cases} y=x,\\ y=k_2(x-2)-1,\end{cases} \implies M\left(\frac{2k_2+1}{k_2-1},\frac{2k_2+1}{k_2-1}\right),\]联立直线 $BO,PA$ 的方程，可得\[\begin{cases} y=-\frac 12x,\\ y=k_1(x-\sqrt 2)+\sqrt 2,\end{cases} \implies N\left(\frac{2\sqrt 2(k_1-1)}{2k_1+1},\frac{-\sqrt 2(k_1-1)}{2k_1+1}\right),\]于是\[\begin{split} |AM|\cdot |BN|&=\sqrt 2\cdot \sqrt{1+\left(-\frac 12\right)^2}\cdot \left(2-\frac{2\sqrt 2(k_1-1)}{2k_1+1}\right)\cdot \left(\sqrt 2-\frac{2k_2+1}{k_2-1}\right)\\ &=\dfrac{\sqrt{10}}2\cdot \dfrac{8(1-k_2)}{2+\sqrt 2+2(\sqrt 2-1)k_2}\cdot \dfrac{(\sqrt 2-2)k_2-(\sqrt 2+1)}{k_2-1}\\ &=4\sqrt 5,\end{split}\]为定值．
设 $ \overrightarrow{M A}=\lambda \overrightarrow{O A}$，$\overrightarrow{N B}=\mu \overrightarrow{O B}$，且\[\overrightarrow{O P}=k \overrightarrow{O M}+(1-k) \overrightarrow{O B}=k(1-\lambda) \overrightarrow{O A}+\frac{1-k}{1-\mu} \overrightarrow{O N} ,\]于是\[k(1-\lambda)+\frac{1-k}{1-\mu}=1 \iff k=\frac{\mu}{\lambda \mu-\lambda-\mu} ,\]因此\[ \overrightarrow{O P}=k(1-\lambda) \overrightarrow{O A}+(1-k) \overrightarrow{O B} =\frac{\mu(1-\lambda)}{\lambda \mu-\lambda-\mu} \overrightarrow{O A}+\frac{\lambda(1-\mu)}{\lambda \mu-\lambda-\mu} \overrightarrow{O B},\] 设 $\overrightarrow{O P}=a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B}$，则\[\begin{cases} x_0=\sqrt{2} a+2 b , y_0=\sqrt{2} a-b,\end{cases}\]代入椭圆方程可得\[a^2+b^2=1 \implies \mu^2(1-\lambda)^2+\lambda^2(1-\mu)^2=(\lambda \mu-\lambda-\mu)^2,\]整理得\[ \lambda^2 \mu^2-2 \lambda \mu=0 \implies \lambda \mu=2,\]于是\[|AM|\cdot |BN|=\lambda \mu |OA|\cdot |OB|=4\sqrt 5,\]为定值．