已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}= 1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 6}2$，点 $P\left(x_1,y_1\right)$ 是 $C$ 的右支上异于顶点的一点，过 $F_2$ 作 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线的垂线，垂足是 $M$，$|MO|=\sqrt 2$，若双曲线 $C$ 上一点 $T$ 满足 $\overrightarrow{F_1 T}\cdot\overrightarrow{F_2 T}=5$，则点 $T$ 到双曲线 $C$ 的两条渐近线距离之和为（ ）
A．$2\sqrt 2$
B．$2\sqrt 3$
C．$2\sqrt 5$
D．$2\sqrt 6$
答案 A．
解析 设 $F_2M$ 于 $PF_1$ 交于点 $N$，则 $N$ 为 $F_2$ 关于 $PM$ 的对称点，于是\[|PF_1|-|PF_2|=2a\implies |PF_1|-|PN|=2a\implies |NF_1|=2a\implies 2|OM|=2a\implies a=\sqrt 2,\]而双曲线的离心率为 $\dfrac{\sqrt 6}2$，于是双曲线 $C:\dfrac{x^2}2-y^2=1$．设 $T(m,n)$，则\[\begin{cases} T\in C,\\ \overrightarrow{F_1T}\cdot \overrightarrow{F_2T}=5,\end{cases}\implies \begin{cases} \frac{m^2}{2}-n^2=1,\\ (m^2+n^2)-3=5,\end{cases}\implies \begin{cases} m^2=6,\\ n^2=2,\end{cases}\]于是 $T$ 到双曲线两条渐近线距离之和为\[\dfrac{|m+\sqrt 2n|}{\sqrt 3}+\dfrac{|m-\sqrt 2n|}{\sqrt 3}=\dfrac{2\max\{|m|,|\sqrt 2n|\}}{\sqrt 3}=2\sqrt 2.\]