每日一题[3673]见贤思齐

2025年上海市春季高考数学试卷 #21

已知函数 $y=f(x)$ 的定义域是 $D$．对于 $t \in D$，定义集合 $S_{f(t)}=\{x \mid f(x) \geqslant f(t)\}$．

1、$f(x)=\log _2 x$，求 $S_{f(16)}$；

2、对于集合 $A$，若对任意 $x \in A$ 都有 $-x \in A$，则称 $A$ 是对称集．若 $D$ 是对称集，证明：函数 $y=f(x)$ 是偶函数的充要条件是对任意 $t \in D$，$S_{f(t)}$ 是对称集；

3、已知 $m$ 是实数，若 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} m x^2$（$x \in \mathbb{R}$）满足对于任意 $t_1,t_2 \in D$ 且 $t_1<t_2$，都有 $S_{f\left(t_2\right)} \subseteq S_{f\left(t_1\right)}$，求 $m$ 的取值范围．

解析   

1、根据题意，有 $$S_{f(16)}=\{x\mid \log_2x\geqslant \log_2{16}\}=\{x\mid x\geqslant 16\}.$$

2、必要性     若函数 $y=f(x)$ 是偶函数，则对任意 $t\in D$，若 $m\in S_{f(t)}$，则 $$f(m)\geqslant f(t)\implies f(-m)\geqslant f(t)\implies -m\in S_{f(t)},$$ 于是必要性得证．

充分性    用反证法，若存在 $x_0\in D$，使得 $f(x_0)\ne f(-x_0)$，不妨设 $f(x_0)>f(-x_0)$，则 $$x_0\in S_{f(x_0)},\quad -x_0\notin S_{f(x_0)},$$ 这与对任意 $t \in D$，$S_{f(t)}$ 是对称集矛盾，于是函数 $y=f(x)$ 是偶函数．

综上所述，原命题得证．