每日一题[3670]选定参数

已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=|x^2-1|-x^2+ax$．

1、若 $f(x)$ 是偶函数，求实数 $a$ 的值；

2、若函数 $f(x)$ 的图象与直线 $y=2x$ 在第一象限有 $2$ 个公共点，公共点横坐标分别为 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），求证：$4x_1-3x_2<a-2<4x_2-3x_1$．

解析

1、当 $a=0$ 时，函数 $f(x)=|x^2-1|-x^2$ 为偶函数；

当 $a\ne 0$ 时，有 $f(x)-f(-x)=2ax$ 不恒为 $0$．

因此实数 $a$ 的值为 $0$．

2、当 $x>0$ 时，方程 $f(x)=2x$ 即 $$\left|x-\dfrac 1x\right|-x+a-2=0\implies 2x_1-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{1}{x_2}=a-2\implies \begin{cases} x_2=\dfrac{x_1}{2x_1^2-1},\\ a-2=2x_1-\dfrac{1}{x_1},\end{cases}$$ 其中 $x_1\in \left(\dfrac{\sqrt 2}2,1\right)$ $^{[1]}$，欲证不等式即 $$4x_1-\dfrac{3x_1}{2x_1^2-1}<2x_1-\dfrac{1}{x_1}<\dfrac{4x_1}{2x_1^2-1}-3x_1,$$ 也即 $$\begin{cases} 1+3x_1^2-4x_1^4>0,\\ -1+11x_1^2-10x_1^4>0,\end{cases}\iff \begin{cases} (1-x_1)(1+x_1)(1+4x_1^2)>0,\\ (1-x_1)(1+x_1)(-1+10x_1^2)>0,\end{cases}$$ 命题得证．

备注    $[1]$ 也可以用 $a-2$ 作为参数，此时 $x_1=\dfrac{t+\sqrt{8+t^2}}4$，$x_2=\dfrac 1t$，其中 $t\in (0,1)$，于是题中不等式即 $$t+\sqrt{8+t^2}-\dfrac 3t<t<\dfrac 4t-\dfrac{3t+3\sqrt{8+t^2}}4\iff \begin{cases} \sqrt{8+t^2}-\dfrac 3t<0,\\ \sqrt{8+t^2}-\dfrac{16}{3t}+\dfrac {7t}3<0,\end{cases}$$ 注意到不等式左侧的函数均为单调递增函数，且当 $t=1$ 时函数值均为 $0$，因此命题得证．