每日一题[3666]曲线与方程

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#22

三条直线 $l_1, l_2, l_3$ 两两平行，$l_1$ 与 $l_2$ 之间的距离为 $1$，$l_2$ 与 $l_3$ 之间的距离为 $\dfrac{1}{2}$，$l_1$ 与 $l_3$ 之间的距离为 $\dfrac{3}{2}$，$A, B$ 是 $l_1$ 上的两个定点且 $A B=2$，$M, N$ 是 $l_2$ 上的两个动点且 $M N=2$；三角形 $A M N$ 的外心记为点 $C$，点 $C$ 到 $l_3$ 的距离为 $d$，则 $d+|B C|$ 的最小值为_____．

答案    $\dfrac{\sqrt{17}}2$．

解析    如图，设 $A$ 在 $l_2$ 上的投影为 $O$，建立平面直角坐标系 $O-NA$，设 $M(t,0)$，$N(t+2,0)$，$A(0,1)$，设 $C(t+1,s)$，则

$$|CM|=|CA|\implies s^2+1=(t+1)^2+(s-1)^2\implies 2s=(t+1)^2,$$ 于是 $C$ 的轨迹是抛物线 $x^2=2y$．

记抛物线 $x^2=2y$ 的焦点 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 为 $F$，则

$$d+|BC|=|CF|+|BC|\geqslant |BF|=\dfrac{\sqrt{17}}2,$$ 等号当 $C$ 在线段 $BF$ 上时取得 $^{[1]}$，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt{17}}2$．