记得以前在平面几何的小册子里有个优美的解法中应用了这个结论：
如果多边形\(S\)和\(T\)的面积相等，那么可以将多边形\(S\)剪成有限个多边形，然后重新拼接成多边形\(T\)．
这个看起来难以入手的问题其实并不难，让我们一起来解决它．
首先，这是一个一般到一般的问题，并且剪拼操作是可逆的（所谓可逆，就是如果可以由\(A\)得到\(B\)，就可以反向由\(B\)还原出\(A\)）．因此我们考虑寻找一个特殊的中间状态\(R\)，将问题转化为一般到特殊的问题：
接下来，我们思考如何选择合适的\(R\)．剪拼的过程如图所示：
为了使得问题变得简单，由\(S\)剪成的“剪裁组”\(A,B,C,\cdots\)，以及最后对于\(R\)的拼接用到的“拼接组”\(A',B',C',\cdots\)，这两组图形应该选择同一类型多边形．此时我们的问题变成了三个小问题：
- 如何将\(S\)划分成同一种多边形\(A\)？
- 如何将一系列同类型的多边形\(A',B',C',\cdots\)合并成一个多边形\(R\)？
- 如何将多边形\(A\)剪拼成另外一种多边形\(A'\)？（注意，即使\(A\)和\(A'\)是同一类型的多边形，也需要考虑如何剪拼．）
对于问题1，很明显，选择将任意多边形划分成若干个小三角形是很容易的．
对于问题2，必须结合问题3一起考虑．因为多边形\(A'\)的选择必须起到“承前启后”的作用．问题2的本质为“可由三角形剪拼”，问题3的本质为“可以合并”．很明显，问题3更具有挑战性．
事实上，如果我们思考形如“\(f(a)+f(b)=f(c)\)”的问题时，勾股定理\(a^2+b^2=c^2\)一定不能被忽视．考虑到
我们可以将\(A'\)和\(R\)定为正方形了．
现在重新审视一下问题，原来的问题被简化为了问题2：“任何一个三角形可以剪拼成正方形”．胜利就在眼前了！
三角形剪拼成最接近正方形的多边形——矩形是容易的：
因此问题又一次的简化为了“任何一个矩形可以剪拼成正方形”．关于这个问题，我们熟知一个“不完美”的结论（下右图说明了这个结论为什么不完美），任意一个长宽比不大于\(2\)的矩形都可以剪拼成一个正方形：
好在我们可以轻松的修复它：
到这里，我们的证明就结束了，总结一下：
- 任意一个多边形都可以剪裁成有限个三角形；
- 任意一个三角形都可以剪拼成一个矩形；
- 任意一个矩形都可以剪拼成一个长宽比不大于\(2\)的矩形；
- 任意一个长宽比不大于\(2\)的矩形都可以剪拼成一个正方形；
- 有限个正方形可以剪拼成一个正方形；
- 一个正方形可以剪拼成任意一个多边形．