2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #18
椭圆 $C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，短轴长为 $2$，点 $P$ 为椭圆的右顶点．圆 $Q: x^2 +(y+1)^2=t^2$（$0<t<1$），过点 $P$ 作圆 $Q$ 的两条切线分别与椭圆交于 $A,B$ 两点（不同于点 $P$）．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、当 $t$ 变化时，直线 $PA,PB$ 的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
3、给定一个 $t$，椭圆上的点到直线 $AB$ 的距离的最大值为 $d$，当 $t$ 变化时，求 $d$ 的最大值，并求出此时 $t$ 的值．
解析 根据椭圆 $C$ 的短轴长为 $2$ 可得 $b=1$，又离心率 $\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2$，可得 $a=2$，因此椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{y^2}4+x^2=1$．
2、设过点 $P$ 作 $Q$ 的切线，切线方程为 $y=k(x-1)$，则\[\dfrac{|k(0-1)-(-1)|}{\sqrt{k^2+1}}=t\iff (1-t^2)k^2-2k+(1-t^2)=0,\]设直线 $PA,PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则 $k_1,k_2$ 是上述关于 $k$ 的二次方程的两个实数解，于是根据韦达定理，有 $k_1k_2=1$，因此直线 $PA,PB$ 的斜率乘积为定值 $1$．
3、平移坐标系，使 $P$ 为原点，则椭圆 $C':\dfrac{y'^2}4+(x'+1)^2=1$，设直线 $AB$ 对应的的直线 $A'B':mx'+ny'=1$，化齐次联立可得\[\dfrac{y'^2}4+x'^2+2x'(mx'+ny')=0,\]于是由直线 $P'A',P'B'$ 斜率之积为定值 $1$，可得\[\dfrac{2m+1}{\frac 14}=1\iff m=-\dfrac38,\]因此直线 $A'B'$ 恒过点 $T'\left(-\dfrac 83,0\right)$．
回到原坐标系，直线 $AB$ 恒过点 $T\left(-\dfrac 53,0\right)$，设椭圆上动点 $M(x_0,y_0)$（$-1\leqslant x_0\leqslant 1$），则\[d(M,AB)\leqslant |MT|=\sqrt{\left(x_0+\dfrac 53\right)^2+y_0^2}=\sqrt{-3x_0^2+\dfrac{10}3x_0+\dfrac{61}9}\leqslant \dfrac{4\sqrt{39}}9,\]等号仅当 $MT\perp AB$ 且 $x_0=\dfrac 59$ 时取得，此时 $M\left(\dfrac 59,\dfrac{4\sqrt{14}}9\right)$，直线 $MT$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt{14}}5$，直线 $AB$ 的斜率为 $-\dfrac{5}{\sqrt{14}}$，$t=\sqrt{1-\dfrac{5\sqrt{14}}{21}}$，因此所求 $d$ 的最大值为 $\dfrac{4\sqrt{39}}9$，此时 $t$ 的值为 $\sqrt{1-\dfrac{5\sqrt{14}}{21}}$．