2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #14
已知 $f(x)=|\ln a-\ln x-2|+\left|\dfrac a x-1\right|$，则 $f(x)$ 的最小值为_____．
答案 $2$．
解析 根据题意，有\[\begin{split} f(x)&=|\ln a-\ln x-2|+\left|\dfrac a x-1\right|\\ &=\left|\ln\dfrac ax-2\right|+\left|\dfrac ax-1\right|\\ &\geqslant \left|\left(\ln\dfrac ax-2\right)-\left(\dfrac ax-1\right)\right|\\ &=\left|\ln \dfrac ax-\dfrac ax -1\right|\\ &=1-\left(\ln \dfrac ax-\dfrac ax\right)\\ &\geqslant 2,\end{split}\]等号当 $\dfrac ax=1$ 时取得，因此所求最小值为 $2$．