2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #19
若函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，且存在非零常数 $T$，使得对任意 $x\in\mathbb R$，都有 $f(x-T)+ f(x+T)=Tf(x)$，则称 $f(x)$ 是类周期为 $T$ 的类周期函数．
（1）若函数 $f(x)$ 是类周期为 $1$ 的类周期函数，证明：$f(x)$ 是周期函数；
（2）已知 $f(x)=2 x-\sin\omega x$（$\omega>0$）是类周期函数，求 $\omega$ 的值及 $f(x)$ 的类周期；
（3）若奇函数 $f(x)$ 是类周期为 $T$（$T>0$）的类周期函数，且 $\dfrac{f(3 T)}{f(T)}=1$，求 $T$ 的值，并给出符合条件的一个 $f(x)$．
解析
（1）根据题意，有\[f(x-1)+f(x+1)=f(x),\]于是\[ f(x+1)=f(x)-f(x-1)=\big(f(x-1)-f(x-2)\big)-f(x-1)=-f(x-2),\]进而\[f(x+1)=-f(x-2)=-\big(-f(x-5)\big)=f(x-5),\]于是 $f(x)$ 是周期为 $6$ 的函数，命题得证．
（2）根据题意，存在非零常数 $T$，使得\[2(x-T)-\sin\big(\omega(x-T)\big)+2(x+T)-\sin\big(\omega(x+T)\big)=T\big(2x-\sin(\omega x)\big),\]整理可得\[\sin(\omega x)\cdot \big(2\cos(\omega T)-T\big)+2(T-2)x=0,\]
若 $T=2$，则 $\cos(2\omega)=1$，从而 $\omega =k\pi$（$k\in\mathbb Z$），符合题意；
若 $T\ne 2$，则 $2\cos(\omega T)-T,T-2$ 均为非零常数，不符合题意．
综上所述，$\omega =k\pi$（$k\in\mathbb Z$）且 $f(x)$ 的类周期 $T=2$．
（3）根据题意，有 $f(x-T)+f(x+T)=Tf(x)$，且由 $f(x)$ 为 $\mathbb R$ 上的奇函数可得 $f(0)=0$，由 $\dfrac{f(3T)}{f(T)}=1$ 可得 $f(3T)=f(T)$ 且 $f(T)\ne 0$，分别令 $x=T,2T$，可得\[\begin{cases} f(0)+f(2T)=Tf(T),\\ f(T)+f(3T)=Tf(2T),\end{cases}\]将 $f(0)=0$，$f(3T)=f(T)$ 代入，可得\[\begin{cases} f(2T)=Tf(T),\\ 2f(T)=Tf(2T),\end{cases}\implies (T^2-2)f(T)=0\implies T=\sqrt 2,\]此时\[f\left(x-\sqrt 2\right)+f\left(x+\sqrt 2\right)=\sqrt 2f(x),\]联想到\[\sin\left(x-\dfrac{\pi}4\right)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right)=\sqrt 2\sin x,\]可以给出符合条件的一个 $f(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4\sqrt 2}x\right)$．