2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #19
对于一个四元整数集 $A=\{a,b,c,d\}$，如果它能划分成两个不相交的二元子集 $\{a,b\}$ 和 $\{c,d\}$，满足 $a b-c d=1$，则称这个四元整数集为有趣的．
（1）写出集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 的一个有趣的四元子集；
（2）证明：集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 不能划分成两个不相交的有趣的四元子集；
（3）证明：对任意正整数 $n$（$n\geqslant 2$），集合 $\{1,2,3,\cdots,4 n\}$ 不能划分成 $n$ 个两两不相交的有趣的四元子集．
解析
（1）$\{1,2,3,5\}$，$\{3,4,5,7\}$，$\{2,3,5,8\}$（符合要求即可）
（2）即第 $(3)$ 小题中 $n=2$ 的情形．
（3）用反证法，若集合 $\{1,2,3,\cdots,4 n\}$ 可以划分成 $n$ 个两两不相交的有趣的四元子集，它们分别为\[\{a_i,b_i,c_i,d_i\},~i=1,2,\cdots,n,\]其中 $a_ib_i-c_id_i=\pm 1$，不妨设 $a_ib_i$ 为偶数，$c_id_i$ 为奇数，则 $c_i,d_i$ 均为奇数．注意到集合 $\{1,2,3,\cdots,4n\}$ 中共有 $2n$ 个奇数和 $2n$ 个偶数，因此\[\bigcup_{i=1}^n\{c_i,d_i\}=\{1,3,5,\cdots,4n-1\},\quad \bigcup_{i=1}^n\{a_i,b_i\}=\{2,4,6,\cdots,4n\},\]这样就有\[\begin{split} 2\cdot 4\cdot 6\cdots 4n&=\prod_{i=1}^n(a_ib_i)\\ &\leqslant \prod_{i=1}^n(c_id_i+1)\\ &=\prod_{i=1}^n\big((c_i+1)(d_i+1)-(c_i+d_i)\big)\\ &<\prod_{i=1}^n\big((c_i+1)(d_i+1)\big)\\ &=2\cdot 4\cdot 6\cdots 4n,\end{split}\]矛盾，因此命题得证．