每日一题[3553]函数方程

2024年浙江杭州高三一模数学试题 #11

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，若 $f(f(x)+y z)=x+f(y) f(z)$，则（       ）

A．$f(1)=0$

B．$f(f(x))=x$

C．$f(x y)=f(x) f(y)$

D．$f(x+y)=f(x) f(y)$

答案    BC．

解析    根据题意，有

$$f(f(x)+y z)=x+f(y) f(z),\tag{1}$$ 在 $(1)$ 中令 $z=0$，可得 $$f(f(x))=x+f(0)f(y)\implies f(0)=0,$$ 进而 $$f(f(x))=x,\tag{2}$$ 选项 $\boxed{B}$ 正确，从而 $f(f(1))=1$，因此 $f(1)\ne 0$，选项 $\boxed{A}$ 错误．

在 $(1)$ 中，令 $x\to 0$，可得

$$f(yz)=f(y)f(z),\tag{3}$$ 选项 $\boxed{C}$ 正确．

对于选项 $\boxed{D}$，取满足函数方程的一个解 $f(x)=x$，取 $x=y=1$，则

$$f(x+y)=f(2)=2,\quad f(x)f(y)=f^2(1)=1,$$ 选项错误．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．