每日一题[3537]严密论证

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#17

已知函数 $f(x)=\ln x+\cos x$ 的所有极值点依次为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，则 $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} (a_{n+1}-a_n)=$（       ）

A．$0$

B．$\dfrac{\pi}2$

C．$\pi$

D．不存在

答案    C．

解析    根据题意，有 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为方程 $\dfrac 1x=\sin x$ 的正零点的正序排列，当 $x\to +\infty$ 时，$y=\dfrac 1x$ 的图象贴近 $x$ 轴，因此 $$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} (a_{n+1}-a_n)=\pi,$$ 严格证明如下． 设 $a_n=\begin{cases} (2n-2)\pi+x_n,&n~\text{为奇数},\\ (2n-1)\pi -x_n,&n~\text{为偶数},\end{cases}$ 则容易证明 $x_n\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，且 $$\dfrac{1}{a_n}=\sin a_n=\sin x_n,$$ 于是当 $n\to +\infty$ 时，有 $\sin x_n \to 0$，从而 $x_n\to 0$，结论得证．