每日一题[3534]主动出击

2024年清华大学强基计划数学试题(回忆版)#14

已知数列 {an} 满足 a1=1an+1=an+1a2n,用 [x] 表示不超过 x 的最大整数,则(       )

A.[a100]=20

B.limn+an3n=33

C.[a9000]=30

D.limn+ann=2

答案    BC.

解析    对递推式两边立方(扩大差距方便计算递增速度),可得a3n+1=(an+1a2n)3=a3n+3+3a3n+1a6na3n+1a3n=3+3a3n+1a6n,适当后移放缩起点,a2=2,于是当 n 时,有a_n^3\geqslant a_2^3+3(n-2)=3n+2,于是\begin{split} a_{n+1}^3-a_n^3&\leqslant 3+\dfrac{3}{3n+2}+\dfrac{1}{(3n+2)^2}\\ & = 3+\dfrac 1{n+\frac 23}+\dfrac 1{9\left(n+\frac 16\right)\left(n+\frac 76\right)+\frac 94}\\ &<3+\ln\left(n+\frac 23\right)-\ln\left(n-\frac 13\right)+\dfrac 19\left(\dfrac{1}{n+\frac 16}-\dfrac1{n+\frac 76}\right),\end{split}于是\begin{split} a_{n+1}^3&< 8+3(n-1)+\ln\dfrac{n+\frac 23}{2-\frac 13}+\dfrac 19\left(\dfrac1{n+\frac 16}-\dfrac{1}{2+\frac 76}\right)\\ &=3n+5+\ln\dfrac{3n+2}{5}+\dfrac 19\left(\dfrac{6}{6n+1}-\dfrac{6}{19}\right),\end{split}从而当 n\geqslant 3 时,有3n+2<a_n^3<3n+2+\ln\dfrac{3n-1}5+\dfrac 19\left(\dfrac 6{6n-5}-\dfrac {6}{19}\right),因此当 n=m^3m\in\mathbb N^{\ast}m\geqslant 2)时,有3m^3<2+a_{m^3}^3<3m^3+2+\ln\dfrac{3m^3-1}{5}+\dfrac19\left(\dfrac 6{6m^3-5}-\dfrac 6{19}\right)<3(m+1)^3,这样就得到了\left[a_{m^3}\right]=m,\quad \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{a_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3},选项 \boxed{B} \boxed{C} 正确.

对于选项 \boxed{A},考虑到\left[a_{100}\right]\leqslant \left[a_{125}\right]=5<20,选项错误.

对于选项 \boxed{D},考虑到\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{a_n}{\sqrt{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty}\left(\dfrac{a_n}{\sqrt[3]{n}}\cdot n^{-\frac 16}\right)=0,选项错误. 综上所述,正确的选项为 \boxed{B} \boxed{C}

 

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