每日一题[3516]转移线段

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#16

在 $\triangle A B C$ 中，若 $O$ 为形内一点，满足 $\angle B O C=2 \angle B A C$，直线 $O C$ 与线段 $A B$ 交于 $D$，且 $O B=O C=3$，$O D=2$，则 $DA \cdot DB=$ （       ）

A．$4$

B．$5$

C．$6$

D．以上答案都不对

答案    B．

解析    如图，由 $\angle B O C=2 \angle B A C$ 可得 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，于是 $OA=OB=OC=3$，设 $AB$ 的中点为 $M$（图中未画出），则

$$\begin{split} DA\cdot DB&=(MA-MD)\cdot (MB+MD)\\ &=MA^2-MD^2\\ &=(OA^2-OM^2)-(OD^2-OM^2)\\ &=OA^2-OD^2\\ &=5.\end{split}$$