2024年5月湖北省武汉市调研试卷#19
混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测，种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用 $x_n$ 来表示系统在第 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态 $x_{n+1}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$，$0<x_1<1$，其中 $f(x)=-a x^2+a x$．
1、当 $a=3$ 时，若满足对 $\forall n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $x_n=f\left(x_{n+1}\right)$，求 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式；
2、证明：当 $a=1$ 时，$\left\{x_n\right\}$ 中不存在连续的三项构成等比数列；
3、若 $x_1=\dfrac 1 2$，$a=1$，记 $S_n=x_n^2 x_{n+1}^2$，证明：$S_1+S_2+\cdots+S_n<\dfrac 1 8$．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} x_{n+1}=-3x_n^2+3x_n,\\ x_n=-3x_{n+1}^2+3x_{n+1},\end{cases}\implies x_n-x_{n+1}=3(x_n^2-x_{n+1}^2)-3(x_n-x_{n+1}),\]于是\[(x_n-x_{n+1})\big(3(x_n+x_{n+1})-4\big)=0,\]因此 $x_{n+1}=x_n$ 或 $x_{n+1}=\dfrac 43-x_n$，于是\[x_n=-3x_n^2+3x_n~\text{或}~\dfrac 43-x_n=-3x_n^2+3x_n,\]解得 $x_n=0$（舍去）或 $ x_n=\dfrac 23$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
2、当 $a=1$ 时，有\[x_{n+1}=-x_n^2+x_n\implies \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=-x_n+1,\]若 $x_k,x_{k+1},x_{k+2}$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）成等比数列，则\[\dfrac{x_{k+2}}{x_{k+1}}=\dfrac{x_{k+1}}{x_k}\implies -x_k+1=-x_{k+1}+1\implies x_k=x_{k+1},\]代入 $x_{k+1}=-x_k^2+x_k$，解得 $x_k=0$，矛盾，命题得证．
3、由第 $(2)$ 小题可得 $\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=-x_n+1$，于是 $\{x_n\}$ 单调递减且 $x_n^2=x_n-x_{n+1}$，$x_2=\dfrac 14$ 设 $T_n=S_1+S_2+\cdots+S_n$，则\[\begin{split} T_n&=\sum_{k=1}^nS_k=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^kx_i^2x_{i+1}^2\\ &\leqslant \sum_{k=1}^n\left(x_{k+1}^2\cdot \sum_{i=1}^k(x_i-x_{i+1})\right)\\ &=\sum_{k=1}^n\left(x_{k+1}^2\cdot (x_1-x_{k+1})\right)\\ &<x_1 \cdot \sum_{k=1}^nx_{k+1}^2\\ &=x_1 \cdot \sum_{k=1}^n(x_{k+1}-x_{k+2})\\ &=x_1(x_2-x_{n+2})\\ &<x_1x_2=\dfrac 18,\end{split}\]命题得证．