2024年5月湖北省武汉市调研试卷#18
某企业生产一种零部件，其质量指标介于 $(49.6,50.4)$ 的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布 $N(50,0.16)$；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布 $N(50,0.04)$． 附：若 $X\sim N\left(\mu,\sigma^2\right)$，取 $P(|X-\mu|<\sigma)=0.6827$，$P(|X-\mu|<2\sigma)=0.9545$．
1、求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；
2、若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是 $p$（$0<p<1$），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．
① 若控制系统原有 $4$ 个元件，讨算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？
② 假设该系统配置有 $n$（$n\geqslant 3$，$n\in\mathbb N$）个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明．
解析
1、技术改造前有 $\mu_1=50$，$\sigma_1=0.4$，则其优品率为\[P(49.6<X<50.4)=P\left(\mu_1-\sigma_1<X<\mu_1+\sigma_1\right)=P\left(\left|X-\mu_1\right|<\sigma_1\right)=0.6827,\] 技术改造后，$\mu_2=50$，$\sigma_2=0.4$，则其优品率为\[P(49.6<X<50.4)=P\left(\mu_2-2\sigma_2<X<\mu_2+2\sigma_2\right)=P\left(\left|X-\mu_2\right|<\right.\left.2\sigma_2\right)=0.9545,\]所以优品率之差为 $0.9545-0.6827=0.2718$．
2、① 记 $X$ 为原系统中正常工作元件个数，$Y$ 为增加一个元件后正常工作元件个数．由条件知，$X\sim B(4,p)$，$Y\sim B(5,p)$，于是\[P(X\geqslant 3)=\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^3 p^3(1-p)+\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^4 p^4,P(Y\geqslant 3)=\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^3 p^3(1-p)^2+\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^4 p^4(1-p)+\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^5 p^5 ,\]而\[P(X\geqslant 3)-P(Y\geqslant 3)=6 p^3(1-p)^2>0,\]所以可靠性提高．
② 根据上一问的假设，易知 $ X\sim B(n,p)$，$Y\sim B(n+1,p)$．
情形一 当 $ n $ 为奇数时，设 $ n=2 k-1$（$k\geqslant 2$，$k\in\mathbb N^{\ast}$），原系统的可靠性为 $ P(X\geqslant k)$，新系统的可靠性为 $ P(Y\geqslant k+1)$，根据题意，有\[P(Y\geqslant k+1)=P(X\geqslant k+1)+p\cdot P(X=k),\]所以\[\begin{split} P(Y\geqslant k+1)-P(X\geqslant k)&=\big(P(X\geqslant k+1)+p\cdot P(X=k)\big)- \big(P(X\geqslant k+1)+P(X=k)\big)\\ &=(p-1)P(X=k)\\ &=\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 k-1}^k p^k(1-p)^{k-1}(p-1)\\ &<0,\end{split}\]这说明可靠性降低．
情形二 当 $ n $ 为偶数时，设 $ n=2 k$（$k\geqslant 2$，$k\in\mathbb N^{\ast}$），原系统的可靠性为 $ P(X\geqslant k+1)$，新系统的可靠性为 $ P(Y\geqslant k+1)$，根据题意，有 \[P(Y\geqslant k+1)=P(X\geqslant k+1)+p\cdot P(X=k),\] 所以\[\begin{split} P(Y\geqslant k+1)-P(X\geqslant k+1)&=p\cdot P(X=k)\\ &=\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 k}^k p^{k+1}(1-p)^k\\ &>0,\end{split}\]这说明可靠性提高．
综上所述，若原系统中元件个数为奇数，增加一个元件后可靠性会降低；若原系统中元件个数为偶数，增加一个元件后可靠性会提高．