每日一题[3470]区间套

2024年高考上海卷#12

等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1>0$，公比 $q>1$，记集合 $l_n =\left\{x-y\mid x,y\in\left[a_1,a_2\right]\cup\left[a_n,a_{n+1}\right]\right\}$，若对任意正整数 $n$，$l_n$ 都是闭区间，则 $q$ 的范围是_______．

答案    $[2,+\infty)$．

解析    根据题意，$l_n$ 关于原点对称且包含原点，因此只需要考虑 $x> y$ 的情形，记

$$p_n=\big\{x-y\mid x,y\in\left[a_1,a_2\right]\cup\left[a_n,a_{n+1}\right],x>y\big\},$$ 则 $n=1,2$ 时显然符合题意，当 $n\geqslant 3$ 时有 $$\begin{split} p_n&=\big\{x-y\mid a_1\leqslant y<x\leqslant a_2\big\}\cup\big\{x-y\mid a_n\leqslant y<x\leqslant a_{n+1}\big\}\cup \big\{x-y\mid a_1\leqslant y\leqslant a_2<a_n\leqslant x\leqslant a_{n+1}\big\}\\ &=\big(0,a_2-a_1\big]\cup\big(0,a_{n+1}-a_n\big]\cup \big[a_n-a_2,a_{n+1}-a_1\big]\\ &=\big(0,(q-1)a_1\big]\cup \big(0,(q^n-q^{n-1})a_1\big]\cup \big[(q^{n-1}-q)a_1,(q^n-1)a_1\big]\\ &= \big(0,(q^n-q^{n-1})a_1\big]\cup \big[(q^{n-1}-q)a_1,(q^n-1)a_1\big],\end{split}$$ 该区间为闭区间，于是 $$\forall n\in\mathbb N^{\ast},~(q^{n-1}-q)a_1\leqslant (q^n-q^{n-1})a_1,$$ 即 $$\forall n\in\mathbb N^{\ast},~q^{n-1}(q-2)+q\geqslant 0,$$ 从而 $q$ 的范围是 $[2,+\infty)$．