2024年高考天津卷#20
设函数 $f(x)=x\ln x$．
1、求 $f(x)$ 图象上点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；
2、若 $f(x)\geqslant a(x-\sqrt x)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；
3、若 $x_1,x_2\in(0,1)$，证明：$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\leqslant\left|x_1-x_2\right|^{\frac 1 2}$．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1+\ln x,\]于是 $f(1)=0$，$f'(1)=1$，因此所求切线方程为 $y=x-1$．
2、不等式 $f(x)\geqslant a(x-\sqrt x)$ 即\[\ln x-a\left(1-\dfrac{1}{\sqrt x}\right)\geqslant 0\iff -2\ln \dfrac{1}{\sqrt x}-a\left(1-\dfrac{1}{\sqrt x}\right)\geqslant 0,\]因此题意即\[\forall x>0,~\ln x-\dfrac a2(x-1)\leqslant 0,\]设 $g(x)=\ln x-\dfrac a2(x-1)$，则\[g'(x)=\dfrac 1x-\dfrac a2,\]为单调函数，而 $g(1)=0$，从而 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的最大值点，也为极大值点，因此\[g'(1)=0\iff a=2,\]经验证，当 $a=2$ 时符合题意，因此 $a$ 的取值范围是 $\{2\}$．
3、根据题意，函数 $f(x)$ 满足\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0&\left(0,\dfrac 1{\mathrm e}\right)&\dfrac{1}{\mathrm e}&\left(\dfrac{1}{\mathrm e},1\right)&1\\ \hline f(x)&0&\searrow&-\dfrac{1}{\mathrm e}&\nearrow&0\\ \hline\end{array}\] 不妨设 $x_1\geqslant x_2$．
情形一 $ f(x_1)\geqslant f(x_2)$．此时\[ LHS=f(x_1)-f(x_2),\quad RHS=\sqrt{x_1-x_2}\geqslant x_1-x_2,\]只需证明函数 $ g(x)=f(x)-x $ 在 $x\in(0,1)$ 上单调递减，而\[g'(x)=(1+\ln x)-1=\ln x,\]命题成立．
情形二 $ f(x_1)< f(x_2)$．此时\[ LHS=f(x_2)-f(x_1),\quad RHS=\sqrt{x_1-x_2}\geqslant \sqrt{x_1}-\sqrt{x_2},\]只需证明函数 $ h(x)=f(x)+\sqrt x $ 在 $x\in(0,1)$ 上单调递增，而\[\begin{split} h'(x)&=1+\ln x+\dfrac{1}{2\sqrt x}\\ &=1-2\ln 4-2\ln\dfrac{1}{4\sqrt x}+\dfrac{1}{2\sqrt x}\\ &\geqslant 1-4\ln 2-2\left(\dfrac{1}{4\sqrt x}-1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt x}\\ &=3-4\ln 2\\ &>3-4\cdot \dfrac 12\left(2-\dfrac 12\right)\\ &=0,\end{split}\]命题成立，其中用到了 $\ln x<\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)$（$x>1$）．
综上所述，原命题得证．