己知 $F$ 为抛物线 $C: x^2=2 p y$（$p>0$）的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，$\overrightarrow{FA}=\left(\sqrt 3,-\dfrac 1 4\right)$．点 $P(0,-2)$，$M,N$ 是拋物线上不同两点，直线 $PM$ 和直线 $PN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$．
1、求 $C$ 的方程．
2、存在点 $Q$，当直线 $MN$ 经过点 $Q$ 时，$3\left(k_1+k_2\right)-2 k_1 k_2=4$ 恒成立，请求出满足条件的所有点 $Q$ 的坐标．
3、对于 $(2)$ 中的一个点 $Q$，当直线 $MN$ 经过点 $Q$ 时，$|MN|$ 存在最小值，试求出这个最小值．
解析
1、根据题意，有 $F\left(0,\dfrac p2\right)$，$A(2pa,2pa^2)$，于是由 $\overrightarrow{FA}=\left(\sqrt 3,-\dfrac 14\right)$ 可得\[\begin{cases} 2pa=\sqrt 3,\\ 2pa^2-\dfrac p2=-\dfrac14,\end{cases}\implies \begin{cases} a=\dfrac{\sqrt 3}4,\\ p=2,\end{cases}\]因此抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=4y$．
2、设 $M(4m,4m^2)$，$N(4n,4n^2)$，则\[k_1=\dfrac{4m^2+2}{4m}=m+\dfrac1{2m},\quad k_2=\dfrac{4n^2+2}{4n}=n+\dfrac1{2n},\]而 $MN:(m+n)x-y-4mn=0$，记 $u=m+n$，$v=mn$，则\[k_1+k_2=u+\dfrac{u}{2v},\quad k_1k_2=v+\dfrac{1}{4v}+\dfrac{u^2-2v}{2v},\]代入 $3(k_1+k_2)-2k_1k_2=4$，整理可得\[(2u-2v-1)(u-2v-1)=0,\]即\[(4u-2-4v)(2u-2-4v)=0,\]因此点 $Q$ 的坐标为 $(4,2)$ 或 $(2,2)$．
3、点 $(4,2)$ 在抛物线外，过点 $(4,2)$ 作抛物线的切线设切点为 $T$，则当 $M,N\to T$ 时，$|MN|\to 0$，因此 $|MN|$ 不存在最小值，进而直线 $MN$ 经过点 $(2,2)$． 根据第 $(2)$ 小题的结果，有\[2u-2-4v=0\iff 4v=2u-2,\]而直线 $MN$ 的斜率为 $u$，于是\[|MN|=\sqrt{1+u^2}\cdot |4m-4n|=4\sqrt{1+u^2}\cdot \sqrt{u^2-4v}=4\sqrt{u^2+1}\cdot \sqrt{u^2-2u+2},\]设 $G(0,0)$，$H(1,0)$，$K(u,0)$，则\[|MN|=4\cdot |KG|\cdot |KH|= \dfrac{8[\triangle KGH]}{\sin\angle GKH}=\dfrac 4{\sin\angle GKH},\]由等张角线可知当 $K$ 位于 $GH$ 的垂直平分线上时 $\angle GKH$ 最小，此时 $\sin\angle GKH=\dfrac 45$，因此所求最小值为 $5$．