每日一题[3430]新传球问题

羽毛球比赛水平相当的甲，乙，丙三人举行羽毛球比赛．规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判．每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判．如果第 $1$ 局甲担任裁判，则第 $3$ 局甲还担任裁判的概率为（       ）

A．$\dfrac 1 4$

B．$\dfrac 1 3$

C．$\dfrac 1 2$

D．$\dfrac 2 3$

答案    C．

解析    设甲第 $n$ 局担任裁判的概率为 $x_n$，则 $x_1=1$，$x_2=0$，且

$$x_{n+1}=x_n\cdot 0+(1-x_n)\cdot \dfrac 12\iff x_{n+1}=-\dfrac 12x_n+\dfrac 12,$$ 即 $$x_{n+1}-\dfrac 13=-\dfrac 12\left(x_n-\dfrac 13\right)\iff x_n=\dfrac 23\left(-\dfrac 12\right)^{n-1}+\dfrac 13,$$ 因此 $x_3=\dfrac 12$．