已知定义在区间 [1,+∞) 上的函数 f(x)={1,1⩽ 下列说法正确的有（ ）
A．f(2024)=\dfrac 1{2024}
B．当 x>1 时，\dfrac 1 x\leqslant f(x)<\dfrac 1{x-1}
C．若 f(x)\leqslant\dfrac k{x+1}，则 k 的最小值为 2
D．若 f(x)\geqslant a^x（a>0，a\neq 1），则 a 的最大值为 \dfrac{\sqrt[3] 9}3
答案 ABD．
解析 根据题意，有 f(x)=\dfrac{1}{[x]}．
对于选项 \boxed{A}，有 f(2024)=\dfrac{1}{[2024]}=\dfrac{1}{2004}；
对于选项 \boxed{B}，由 x-1<[x]\leqslant x 取倒数即得；
对于选项 \boxed{C}，当 k=2 时，考虑 f\left(\dfrac32\right)=1，而当 x=\dfrac 32 时，\dfrac{k}{x+1}=\dfrac 45，不符合题意；
对于选项 \boxed{D}，根据题意，有\forall k\in\mathbb N^{\ast},\dfrac 1k\geqslant a^k\iff \forall k\in\mathbb N^{\ast},\ln a\leqslant -\dfrac{\ln k}{k},根据g(x)=-\dfrac{\ln x}{x}的单调性以及g(2)>g(3)，可得\ln a的最大值为g(3)=-\dfrac{\ln 3}3，进而a的最大值为\mathrm e^{-\frac{\ln 3}3}=\sqrt[3]{\dfrac 13}=\dfrac{\sqrt[3]9}3.