每日一题[3417]极点极线

已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左、右顶点，点 $M(m,0)$（$m>0$）与椭圆上的点的距离的最小值为 $1$．

1、求点 $M$ 的坐标．

2、过点 $M$ 作直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $C,D$ 两点（与 $A,B$ 不重合），连接 $AC,BD$ 交于点 $G$．

① 证明：点 $G$ 在定直线上；

② 是否存在点 $G$ 使得 $CG\perp DG$，若存在，求出直线 $l$ 的斜率；若不存在，请说明理由．

解析

1、点 $M$ 到椭圆上的点 $(x,y)$ 的距离的平方

$$d^2=(m-x)^2+y^2=(m-x)^2+1-\dfrac 14x^2=\dfrac 34x^2-2mx+m^2+1,$$ 其中 $x\in [-2,2]$． 若 $m\in (0,2]$，则当 $x=m$ 时，有 $d^2=1-\dfrac 14m^2<1$，矛盾； 若 $m\in (2,+\infty)$，则 $d^2$ 的最小值当 $x=2$ 时取得，为 $m^2-4m+4=1$，解得 $m=3$．

2、① 延长 $AD$ 和 $BC$ 交于点 $P$，连结 $PG$ 并延长，使之交 $x$ 轴于点 $H$．

根据极点极线的调和分割性质，$PG$ 为点 $M$ 对椭圆的极线，于是 $PG\perp AB$ 于 $H$，进而

$$|OH|\cdot |OM|=|OA|^2=a^2\implies |OH|=\dfrac 43,$$ 因此点 $G$ 在定直线 $x=\dfrac 43$ 上．

② 由于 $G$ 点的轨迹为直线 $x=\dfrac 43$ 中除去与椭圆的公共点的部分，因此存在点 $G$ 使得 $CG\perp DG$，此时 $G\left(\dfrac 43,\dfrac{2\sqrt 5}3\right)$，进而直线 $AC,BD$ 的方程分别为 $x=\pm\sqrt 5y-2$ 和 $x=\mp\dfrac{1}{\sqrt 5}y+2$，与椭圆方程联立解得 $C\left(\dfrac 29,\pm\dfrac{4\sqrt 5}9\right)$ 和 $D\left(\dfrac{38}{21},\pm\dfrac{4\sqrt 5}{21}\right)$，因此直线 $l$ 的斜率为 $\pm \dfrac{4\sqrt 5}{25}$．