每日一题[3414]平均性质与参数方程

过点 $P(2,0)$ 的直线与抛物线 $C: y^2=4 x$ 交于 $A,B$ 两点．抛物线 $C$ 在点 $A$ 处的切线与直线 $x=-2$ 交于点 $N$，作 $NM\perp AP$ 交 $AB$ 于点 $M$，则（       ）

A．直线 $NB$ 与抛物线 $C$ 有 $2$ 个公共点

B．直线 $MN$ 恒过定点

C．点 $M$ 的轨迹方程是 $(x-1)^2+y^2=1$（$x\neq 0$）

D．$\dfrac{|MN|^3}{|AB|}$ 的最小值为 $8\sqrt 2$

答案    BC．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，根据抛物线阿基米德三角形的性质，直线 $NB$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $B$，命题错误；

对于选项 $\boxed{B}$，设 $A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，则根据抛物线的平均性质，有 $4ab=-2$，且 $N\left(-2,2(a+b)\right)$，进而直线 $NM:(a+b)x+y=0$，因此直线 $MN$ 恒过原点，命题正确；

对于选项 $\boxed{C}$，在直角三角形 $ONP$ 中，斜边上的中线长为斜边长的一半，于是 $|MF|=\dfrac12|OP|=1$，因此点 $M$ 的轨迹方程是 $(x-1)^2+y^2=1$（$x\ne 0$），命题正确；

对于选项 $\boxed{D}$，设 $t=a+b$，则\[ |MN|=\dfrac{|-2-2(a+b)^2-2|}{\sqrt{1+(a+b)^2}}=\dfrac{2(t^2+2)}{\sqrt{1+t^2}},\]而\[|AB|=\sqrt{1+(a+b)^2}\cdot 4|a-b|=4\sqrt{(t^2+1)(t^2+2)},\]因此\[\dfrac{|MN|^3}{|AB|}=\dfrac{2(t^2+2)^{\frac 52}}{(t^2+1)^2},\]令 $x=\sqrt{t^2+2}$，则\[\dfrac{|MN|^3}{|AB|}=\dfrac{2x^5}{(x^2-1)^2},\]记该函数为 $f(x)$，则其导函数\[f'(x)=\dfrac{2x^4(x^2-5)}{(x^2-1)^3},\]因此当 $x=\sqrt 5$，即 $t=\sqrt 3$ 时 $f(x)$ 取得最小值，为 $\dfrac{9\sqrt 3}{2}$（或者 $8\sqrt 2=f\left(\sqrt 2\right)>f\left(\sqrt 3\right)$）．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．