过点 P(2,0) 的直线与抛物线 C:y2=4x 交于 A,B 两点.抛物线 C 在点 A 处的切线与直线 x=−2 交于点 N,作 NM⊥AP 交 AB 于点 M,则( )
A.直线 NB 与抛物线 C 有 2 个公共点
B.直线 MN 恒过定点
C.点 M 的轨迹方程是 (x−1)2+y2=1(x≠0)
D.|MN|3|AB| 的最小值为 8√2
答案 BC.
解析 对于选项 A,根据抛物线阿基米德三角形的性质,直线 NB 与抛物线 C 相切于点 B,命题错误;
对于选项 B,设 A(4a2,4a),B(4b2,4b),则根据抛物线的平均性质,有 4ab=−2,且 N(−2,2(a+b)),进而直线 NM:(a+b)x+y=0,因此直线 MN 恒过原点,命题正确;
对于选项 C,在直角三角形 ONP 中,斜边上的中线长为斜边长的一半,于是 |MF|=12|OP|=1,因此点 M 的轨迹方程是 (x−1)2+y2=1(x≠0),命题正确;
对于选项 D,设 t=a+b,则|MN|=|−2−2(a+b)2−2|√1+(a+b)2=2(t2+2)√1+t2,
而|AB|=√1+(a+b)2⋅4|a−b|=4√(t2+1)(t2+2),
因此|MN|3|AB|=2(t2+2)52(t2+1)2,
令 x=√t2+2,则|MN|3|AB|=2x5(x2−1)2,
记该函数为 f(x),则其导函数f′(x)=2x4(x2−5)(x2−1)3,
因此当 x=√5,即 t=√3 时 f(x) 取得最小值,为 9√32(或者 8√2=f(√2)>f(√3)).
综上所述,正确的选项为 B C.
C选项,应该是直角三角形OMPA吧?