每日一题[3414]平均性质与参数方程

过点 P(2,0) 的直线与抛物线 C:y2=4x 交于 A,B 两点.抛物线 C 在点 A 处的切线与直线 x=2 交于点 N,作 NMAPAB 于点 M,则(       )

A.直线 NB 与抛物线 C2 个公共点

B.直线 MN 恒过定点

C.点 M 的轨迹方程是 (x1)2+y2=1x0

D.|MN|3|AB| 的最小值为 82

答案    BC.

解析    对于选项 A,根据抛物线阿基米德三角形的性质,直线 NB 与抛物线 C 相切于点 B,命题错误;

对于选项 B,设 A(4a2,4a)B(4b2,4b),则根据抛物线的平均性质,有 4ab=2,且 N(2,2(a+b)),进而直线 NM:(a+b)x+y=0,因此直线 MN 恒过原点,命题正确;

对于选项 C,在直角三角形 ONP 中,斜边上的中线长为斜边长的一半,于是 |MF|=12|OP|=1,因此点 M 的轨迹方程是 (x1)2+y2=1x0),命题正确;

对于选项 D,设 t=a+b,则|MN|=|22(a+b)22|1+(a+b)2=2(t2+2)1+t2,

|AB|=1+(a+b)24|ab|=4(t2+1)(t2+2),
因此|MN|3|AB|=2(t2+2)52(t2+1)2,
x=t2+2,则|MN|3|AB|=2x5(x21)2,
记该函数为 f(x),则其导函数f(x)=2x4(x25)(x21)3,
因此当 x=5,即 t=3f(x) 取得最小值,为 932(或者 82=f(2)>f(3)).

综上所述,正确的选项为 B C

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每日一题[3414]平均性质与参数方程》有一条回应

  1. askl说:

    C选项,应该是直角三角形OMPA吧?

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