每日一题[3389]螺旋升天

已知 $x \in\mathbb R$，$f(x)=\lfloor 2 x\rfloor+\lfloor 4 x\rfloor+\lfloor 6 x\rfloor+\lfloor 8 x\rfloor$，则不超过 $2024$ 的正整数中可以作为 $f(x)$ 函数值的个数为（       ）

A．$1012$

B．$1215$

C．$1624$

D．$2024$

答案    B．

解析    根据题意，有

$$f\left(x+\dfrac 12\right)=\lfloor 2x+1\rfloor+\lfloor 4x+2\rfloor+\lfloor 6x+3\rfloor+\lfloor 8x+4\rfloor=f(x)+10.$$ 考虑函数 $f(x)$ 在 $x\in\left[0,\dfrac 12\right)$ 上的取值，只需要考虑 $x=0,\dfrac 18,\dfrac 16,\dfrac 14,\dfrac 13,\dfrac 38$ 处的函数值，分别为 $0,1,2,4,5,6$，因此模 $10$ 的余数为 $0,1,2,4,5,6$ 的正整数均可以作为 $f(x)$ 的函数值，共有 $202\cdot 6+3=1215$ 个．