每日一题[3387]对偶组合

设 $\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)^n=a_n+b_n \sqrt{2}+c_n \sqrt{7}+d_n \sqrt{14}$，其中 $a_n, b_n, c_n, d_n \in\mathbb Z^{+}$，则 $\lim \limits_{n \to\infty} \dfrac{a_n^3}{b_n c_n d_n}=$ （       ）

A．$1$

B．$2$

C．$7$

D．$14$

答案    D．

解析    考虑对偶式 $$\begin{cases} x_n=\left(1+\sqrt 2+\sqrt 7\right)^n,\\ y_n=\left(1-\sqrt 2+\sqrt 7\right)^n,\\ z_n=\left(1+\sqrt 2-\sqrt 7\right)^n,\\ w_n=\left(1-\sqrt 2-\sqrt 7\right)^n,\end{cases}\implies\begin{cases} x_n=a_n+b_n\sqrt 2+c_n\sqrt 7+d_n\sqrt{14},\\ y_n=a_n-b_n\sqrt 2+c_n\sqrt 7-d_n\sqrt{14},\\ z_n=a_n+b_n\sqrt 2-c_n\sqrt 7-d_n\sqrt{14},\\ w_n=a_n-b_n\sqrt 2-c_n\sqrt 7+d_n\sqrt{14},\end{cases}$$ 因此 $$\begin{cases} 4a_n=x_n+y_n+z_n+w_n,\\ 4\sqrt 2b_n=x_n-y_n+z_n-w_n,\\ 4\sqrt 7c_n=x_n+y_n-z_n-w_n,\\ 4\sqrt{14}d_n=x_n-y_n-z_n+w_n,\end{cases}$$ 考虑到 $$\lim_{n\to \infty}\dfrac{y_n}{x_n}=\lim_{n\to \infty}\dfrac{z_n}{x_n}=\lim_{n\to \infty}\dfrac{w_n}{x_n}=0,$$ 可得 $$\lim_{n\to \infty}\dfrac{(4a_n)^3}{4\sqrt 2b_n\cdot 4\sqrt 7c_n\cdot 4\sqrt{14}d_n}=1\implies \lim_{n \to \infty}\dfrac{a_n^3}{b_nc_nd_n}=14.$$