每日一题[3314]联立与韦达

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F(1,0)$，过 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A,B$ 两点，若 $\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{FB}$，当 $\lambda=1$ 时，$|AB|=\sqrt 2$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、设椭圆的下顶点为 $D$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S_1$，$\triangle BDF$ 的面积为 $S_2$，求 $S_1-S_2$ 的最大值．

解析

1、当 $\lambda=1$ 时，$AB$ 为椭圆的通径，于是

$$\begin{cases} \sqrt{a^2-b^2}=1,\\ \dfrac{2b^2}{a}=\sqrt 2,\end{cases}\iff\begin{cases} a^2=2,\\ b^2=1,\end{cases}$$ 于是椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$．

2、设 $AB:x=my+1$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$D(0,-1)$，$F(1,0)$，则 $DF:x-y-1=0$，不妨设 $y_1+y_2\geqslant 0$，联立直线 $AB$ 和椭圆 $C$ 的方程可得

$$(m^2+2)y^2+2my-1=0,$$ 而 $$\begin{split} S_1-S_2&=\dfrac 12\cdot |DF|\cdot \left(d(A,DF)-d(B,DF)\right)\\ &=\dfrac 12\cdot \sqrt 2\cdot \left(\dfrac{|x_1-y_1-1|}{\sqrt 2}-\dfrac{|x_1-y_1-1|}{\sqrt 2}\right)\\ &=^{[1]}\dfrac 12\cdot (m-1)(y_1+y_2)\\ &=\dfrac{m^2-m}{m^2+2}\\ &=\begin{cases} 1,&m=-2,\\ 1-\dfrac{1}{(m+2)+\dfrac{6}{m+2}-4},&m\ne -2,\end{cases}\\ &\leqslant 1-\dfrac{1}{-2\sqrt 6-4}\\ &=\dfrac{2+\sqrt 6}4,\end{split}$$ 等号当 $m=-2-\sqrt 6$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{2+\sqrt 6}4$．

备注    $[1]$ 注意 $y_1,y_2$ 异号，于是 $|y_1|-|y_2|=|y_1+y_2|$．