设 $x, y, z>0$，$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$，证明： $$ \frac{x^{4}+y^{2} z^{2}}{x^{\frac{5}{2}}(y+z)}+\frac{y^{4}+z^{2} x^{2}}{y^{\frac{5}{2}}(z+x)}+\frac{z^{4}+y^{2} x^{2}}{z^{\frac{5}{2}}(y+x)} \geqslant 1. $$
解析 原题即 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=1$，求证：\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{a^8+b^4c^4}{a^5(b^2+c^2)}\geqslant 1.\]化齐次，该不等式即\[\sum_{\rm cyc}\left(a^8+b^4c^4\right)b^5c^5(a^2+b^2)(c^2+a^2)\geqslant a^5b^5c^5(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a+b+c),\]即\[\sum_{\rm cyc}\left(a^{12}b^5c^5+a^{10}b^7c^5+a^{10}b^5c^7+a^8b^7c^7+a^4b^9c^9+a^2b^{11}c^9+a^2b^9c^{11}+b^{11}c^{11}\right)\geqslant a^5b^5c^5\sum_{\rm cyc} \left(a^5b^2+a^2b^5+a^4b^3+a^3b^4+a^4b^2c+a^2b^4c+2a^3b^2c^2\right),\]也即\[\sum_{\rm cyc}\left(a^{12}b^5c^5+a^4b^9c^9+a^2b^{11}c^9+a^2b^9c^{11}+b^{11}c^{11}\right)\geqslant a^5b^5c^5\sum_{\rm cyc} \left(a^4b^3+a^3b^4+a^4b^2c+a^2b^4c+a^3b^2c^2\right),\]也即\[\sum_{\rm cyc}\left(a^{12}b^5c^5+a^9b^9c^4+a^{11}b^9c^2+a^9b^{11}c^2+a^{11}b^{11}\right)\geqslant \sum_{\rm cyc} \left(a^9b^8c^5+a^9b^5c^8+a^9b^7c^6+a^9b^6c^7+a^8b^7c^7\right),\]根据米尔黑德不等式，命题得证．