每日一题[3224]恰好分组

已知函数 $f(x)=x^{3}-a x^{2}+\left(a^{2}-2\right) x+1$，若存在 $m>0$，使得 $f(m) \leqslant 0$，则实数 $a$ 的最大值为_______．

答案    $1$．

解析    根据题意，有

$$f(x)=x(x-a)^2+ax^2-2x+1,$$ 因此当 $a=1$ 时，$f(1)=0$，符合题意；当 $a>1$ 时，有 $$f(x)>x^2-2x+1\geqslant 0,$$ 不符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的最大值为 $1$．