设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$．记命题 $p$：“数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列”，命题 $q$：“$S_{n},S_{2 n}-S_{n}, S_{3 n}-S_{2 n}$ 成等比数列”，则 $p$ 是 $q$ 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 D．
解析 一方面，取等比数列 $a_n=(-1)^n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），则\[\begin{array} {c|c|c|c}\hline n&S_n&S_{2n}-S_n&S_{3n}-S_{2n}\\ \hline 2m-1&-1&2&-2\\ \hline 2m&0&0&0 \\ \hline \end{array}\]此时命题 $q$ 不成立，因此 $p$ 是 $q$ 的不充分条件． 另一方面，取 $a_n:~1,2,4,2,4,8$，则 $S_1,S_2,S_3$（即 $1,2,4$）以及 $S_2,S_4,S_6$（即 $3,6,12$）都是等比数列，此时命题 $q$ 成立，因此 $p$ 是 $q$ 不必要条件． 综上所述，命题 $p$ 是命题 $q$ 的既不充分也不必要条件．
备注 一般地，如果数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $r$（$r\ne 0$），且 $a_n=a_0\cdot r^n$（$a_0\ne 0$），则\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline &S_n&S_{2n}-S_n&S_{3n}-S_{2n}\\ \hline r=1&na_0&na_0&na_0 \\ \hline r\ne 1&\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}&\dfrac{a_1r^n(1-r^n)}{1-r}&\dfrac{a_1r^{2n}(1-r^n)}{1-r}\\ \hline \end{array}\] 于是当 $r\ne -1$ 时，命题 $q$ 成立；当 $r=-1$ 时，命题 $q$ 不成立． 如果 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$ 成等比数列，即\[\begin{split} &a_1,a_2,a_3,\\ &a_1+a_2,a_3+a_4,a_5+a_6,\\ &a_1+a_2+a_3,a_4+a_5+a_6,a_7+a_8+a_9,\\ &\cdots,\\ \end{split}\]成等比数列，对于数列的前 $3n$ 项，只有 $n$ 个约束条件，当 $n\geqslant 2$ 时，无法保证前 $3n$ 项是等比数列，命题 $p$ 不成立．