每日一题[3196]围剿有理数

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d\neq0$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比 $q$ 为小于 $1$ 的正有理数．若 $a_1=d$，$b_1=d^2$，且 $\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}$ 为正整数，则 $q=$ _______．

答案    $\dfrac12$．

解析    根据题意，有

$$\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}=\dfrac{a_1^2+(a_1+d)^2+(a_1+2d)^2}{b_1+b_1q+b_1q^2}=\dfrac{14}{1+q+q^2},$$ 由题设不妨设 $1+q+q^2=\dfrac{14}m$，其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$，则 $$q=-\dfrac12+\sqrt{\dfrac14+\dfrac{14}m-1}=-\dfrac12+\sqrt{\dfrac{56-3m}{4m}},$$ 又由于 $q$ 为小于 $1$ 的正有理数，于是 $$1<\dfrac{14}m<3\iff 5\leqslant m\leqslant13,$$ 且 $\dfrac{56-3m}{4m}$ 为某个有理数的平方．因此 $q=\dfrac12$．