每日一题[3175]进阶放缩

已知 $a=\dfrac{9-\mathrm{e}}{3+\mathrm{e}}$，$b=\ln 3$，$c=2 \ln 2-\dfrac{2}{7}$，则（       ）

A．$c>b>a$

B．$a>b>c$

C．$c>a>b$

D．$b>a>c$

答案    A．

解析    考虑 $$b-1=\ln\dfrac3{\rm e}>\dfrac{2\left(\dfrac3{\rm e}-1\right)}{\dfrac{3}{\rm e}+1}=\dfrac{6-2{\rm e}}{3+{\rm e}}=a-1,$$ 因此 $a<b$．

而 $$c-b=\ln\dfrac 43-\dfrac 27>\dfrac{2\left(\dfrac 43-1\right)}{\dfrac 43+1}-\dfrac 27=0,$$ 因此 $c>b$．

综上所述，$c>b>a$．

备注    也可以 $$c=\ln\left(4{\rm e}^{-\frac 27}\right),$$ 而 $${\rm e}^{-\frac 27}>1+\left(-\dfrac 27\right)+\dfrac 12\left(-\dfrac 27\right)^2+\dfrac 16\left(-\dfrac 27\right)^3=\dfrac {773}{1029}>\dfrac 34,$$ 因此 $c>b$．