每日一题[3152]重组消元

设 $\triangle A B C$ 的三个内角分别为 $A, B, C$，则

$$m=\sin A \cos B+\sin B \cos C+\sin C \cos A$$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac{3\sqrt 3}9$．

解析    由于问题关于 $A,B,C$ 轮换，不妨设 $B$ 是居中的角，则根据排序不等式，有

$$\begin{split} m&=\sin A \cos B+\sin B \cos C+\sin C \cos A\\ &\leqslant \sin A\cos C+\sin B\cos B+\sin C\cos A\\ &=\sin B(1+\cos B)\\ &=\sqrt{(1-\cos B)(1+\cos B)^3}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \sqrt{(3-3\cos B)(1+\cos B)^3}\\ &\leqslant \dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac 94=\dfrac{3\sqrt 3}4,\end{split}$$ 等号当 $A=B=C=\dfrac{\pi}3$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{3\sqrt 3}9$．