每日一题[3146]对勾与对数

函数 $f(x)=\left(x+\dfrac{a}{x}\right) \ln |x|+b$（$a, b \in \mathbb{R}$），则（       ）

A．$\exists a \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递减

B．$\exists a, b \in \mathbb{R}$，使得直线 $y=2 x-1$ 为曲线 $y=f(x)$ 的切线

C．$\exists a \in \mathbb{R}$，使得 $b$ 既为 $f(x)$ 的极大值也为 $f(x)$ 的极小值

D．$\exists a, b \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个零点 $x_1, x_2$，且 $x_1 x_2=1$

答案    BCD．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=1+\dfrac{a}{x^2}+\left(1-\dfrac{a}{x^2}\right)\ln x,$$ 于是 $f'({\rm e})=2$，因此函数 $f(x)$ 在 $2$ 的邻域内单调递增，选项 $\boxed{A}$ 错误．

对于选项 $\boxed{B}$，由于 $b$ 的任意性，只需要 $f'(x)=2$ 有实数解，选项 $\boxed{B}$ 正确．

对于选项 $\boxed{C}$，函数 $f(x)$ 是奇函数，因此只需要使得 $f(x)$ 存在极值为 $0$．注意到 $f(1)=0$，而 $f'(1)=1+a$，取 $a=-1$，则 $f'(1)=0$，此时 $$f''(x)=\dfrac{-3a+x^2+2a\ln x}{x^3}\implies f''(1)=-4,$$ 因此 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，进而选项 $\boxed{C}$ 正确．

对于选项 $\boxed{D}$，注意到 $$f\left(\dfrac 1x\right)=-\left(ax+\dfrac 1x\right)\ln|x|,$$ 因此当 $a=-1$ 时有 $f(x)=f\left(\dfrac 1x\right)$，此时取 $b<0$ 即可使 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个零点 $x_1, x_2$，且 $x_1 x_2=1$，选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．