每日一题[3132]彭赛列闭合性质

已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}4=1$ 上一点 $P\left(2,\dfrac{2\sqrt 5}3\right)$，过点 $P$ 作圆 $O:~x^2+y^2=r^2$（$0<r<2$）的两条切线，分别交椭圆 $C$ 于与 $P$ 不同的点 $A,B$，若直线 $AB$ 也与圆 $O$ 相切，则 $r=$_______．

答案    $\dfrac 65$．

解析    根据彭赛列闭合性质，可以取 $P(3,0)$，此时双切线方程为 $$(9-r^2)(x^2+y^2-r^2)=(3x-r^2)^2\iff (9-r^2)y^2=r^2(x-3)^2,$$ 与椭圆方程 $y^2=4\left(1-\dfrac{x^2}{9}\right)$ 联立，有 $$4\left(9-r^2\right)\left(1-\dfrac{r^2}{9}\right)=r^2(-r-3)^2,$$ 解得 $r=-6$（舍去）或 $r=\dfrac 65$．