每日一题[3127]斜率关系

已知双曲线 $\Gamma: x^{2}-\dfrac{y^{2}}{3}=1$，$F$ 为双曲线 $\Gamma$ 的右焦点，过 $F$ 作直线 $l_{1}$ 交双曲线 $\Gamma$ 于 $A, B$ 两点，过 $F$ 点且与直线 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ 交直线 $x=\dfrac{1}{2}$ 于 $P$ 点，直线 $O P$ 交双曲线 $\Gamma$ 于 $M, N$ 两点．

1、若直线 $O P$ 的斜率为 $\dfrac{3}{2}$，求 $|A B|$ 的值．

2、设直线 $A B, A P, A M, A N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$，且 $k_{1} k_{2} k_{3} k_{4} \neq 0$，$k_{1}+k_{2} \neq 0$，记 $k_{1}+k_{2}=u$，$k_{1} k_{2}=v$，$k_{3}+k_{4}=w$，试探究 $v$ 与 $u, w$ 满足的方程关系，并将 $v$ 用 $w, u$ 表示出来．

解析

1、根据题意，有点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac 12,\dfrac 34\right)$，于是直线 $l_2$ 的斜率为 $-\dfrac 12$，直线 $l_1$ 的斜率为 $2$．设直线 $l_1$ 的倾斜角为 $\theta$，则 $\sin^2\theta=\dfrac45$，根据双曲线的焦点弦长公式，有

$$|AB|=\dfrac{6}{\left|3-4\cdot \dfrac 45\right|}=30.$$

2、设 $A\left(x_0, y_0\right)$，$M\left(x_1, y_1\right)$，$N\left(-x_1,-y_1\right)$，则

$$k_1=\dfrac{y_0}{x_0-2},$$ 因为直线 $l_2$ 垂直直线 $l_1$，故 $l_2$ 的直线方程为 $y=-\dfrac{1}{k_1}(x-2)$，代入 $x=\dfrac{1}{2}$，可得点 $P$ 的坐标 $P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2 k_1}\right)$，所以有 $$k_2=\dfrac{\frac{3}{2 k_1}-y_0}{\frac{1}{2}-x_0}=\dfrac{\frac{3\left(x_0-2\right)}{2 y_0}-y_0}{\frac{1}{2}-x_0}=\dfrac{3 x_0-6-2 y_0^2}{\left(1-2 x_0\right) y_0}=\dfrac{3 x_0-6-2 \left(3x_0^2-x\right)}{\left(1-2 x_0\right) y_0}=\dfrac{3x_0}{y_0},$$ 从而 $$k_1+k_2=\frac{y_0}{x_0-2}+\frac{3 x_0}{y_0}=\frac{y_0^2+3 x_0\left(x_0-2\right)}{\left(x_0-2\right) y_0}=\frac{6 x_0^2-6 x_0-3}{\left(x_0-2\right) y_0},$$ 且 $$k_1 k_2=\frac{y_0}{x_0-2} \cdot \frac{3 x_0}{y_0}=\frac{3 x_0}{x_0-2},$$ 又直线 $O P$ 的斜率 $$k_{O P}=\frac{y_P}{x_P}=\frac{3}{k_1},$$ 联立直线 $O P$ 与双曲线 $C$ 的方程可得 $$\left(k_1^2-3\right) x^2-k_1^2=0,$$ 于是所以 $$x_1^2=\frac{k_1^2}{k_1^2-3}=\frac{y_0^2}{12 x_0-15},$$ 所以 $$\begin{split} k_3+k_4 & =\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+\frac{-y_1-y_0}{-x_1-x_0}\\ &=\frac{2 x_1 y_1-2 x_0 y_0}{x_1^2-x_0^2}\\ &=\frac{\frac{6}{k_1} x_1^2-2 x_0 y_0}{x_1^2-x_0^2}\\ &=\frac{\frac{6\left(x_0-2\right) y_0}{12 x_0-15}-2 x_0 y_0}{\frac{y_0^2}{12 x_0-15}-x_0^2} \\ & =\frac{-12 y_0\left(2 x_0^2-3 x_0+1\right)}{y_0^2-\left(12 x_0-15\right) x_0^2}\\ &=\frac{-12 y_0\left(2 x_0^2-3 x_0+1\right)}{-3\left(4 x_0^3-6 x_0^2+1\right)}\\ &=\frac{4 y_0\left(2 x_0-1\right)\left(x_0-1\right)}{\left(2 x_0-1\right)\left(2 x_0^2-2 x_0-1\right)}\\ &=\frac{4 y_0\left(x_0-1\right)}{2 x_0^2-2 x_0-1}\\ &=\frac{4(x_0-1)}{\frac13(k_1+k_2)(x_0-2)}\\ &=\dfrac{2k_1k_2+6}{k_1+k_2},\end{split}$$ 因此 $$w=\dfrac{2v+6}u\implies v=\dfrac 12uw-3.$$