每日一题[3127]斜率关系

已知双曲线 Γ:x2y23=1F 为双曲线 Γ 的右焦点,过 F 作直线 l1 交双曲线 ΓA,B 两点,过 F 点且与直线 l1 垂直的直线 l2 交直线 x=12P 点,直线 OP 交双曲线 ΓM,N 两点.

1、若直线 OP 的斜率为 32,求 |AB| 的值.

2、设直线 AB,AP,AM,AN 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2k3k40k1+k20,记 k1+k2=uk1k2=vk3+k4=w,试探究 vu,w 满足的方程关系,并将 vw,u 表示出来.

解析

1、根据题意,有点 P 的坐标为 (12,34),于是直线 l2 的斜率为 12,直线 l1 的斜率为 2.设直线 l1 的倾斜角为 θ,则 sin2θ=45,根据双曲线的焦点弦长公式,有|AB|=6|3445|=30.

2、设 A(x0,y0)M(x1,y1)N(x1,y1),则k1=y0x02,因为直线 l2 垂直直线 l1,故 l2 的直线方程为 y=1k1(x2),代入 x=12,可得点 P 的坐标 P(12,32k1),所以有k2=32k1y012x0=3(x02)2y0y012x0=3x062y20(12x0)y0=3x062(3x20x)(12x0)y0=3x0y0,从而k1+k2=y0x02+3x0y0=y20+3x0(x02)(x02)y0=6x206x03(x02)y0,k1k2=y0x023x0y0=3x0x02,又直线 OP 的斜率kOP=yPxP=3k1,联立直线 OP 与双曲线 C 的方程可得(k213)x2k21=0,于是所以x21=k21k213=y2012x015,所以 k3+k4=y1y0x1x0+y1y0x1x0=2x1y12x0y0x21x20=6k1x212x0y0x21x20=6(x02)y012x0152x0y0y2012x015x20=12y0(2x203x0+1)y20(12x015)x20=12y0(2x203x0+1)3(4x306x20+1)=4y0(2x01)(x01)(2x01)(2x202x01)=4y0(x01)2x202x01=4(x01)13(k1+k2)(x02)=2k1k2+6k1+k2,因此w=2v+6uv=12uw3.

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