已知双曲线 Γ:x2−y23=1,F 为双曲线 Γ 的右焦点,过 F 作直线 l1 交双曲线 Γ 于 A,B 两点,过 F 点且与直线 l1 垂直的直线 l2 交直线 x=12 于 P 点,直线 OP 交双曲线 Γ 于 M,N 两点.
1、若直线 OP 的斜率为 32,求 |AB| 的值.
2、设直线 AB,AP,AM,AN 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2k3k4≠0,k1+k2≠0,记 k1+k2=u,k1k2=v,k3+k4=w,试探究 v 与 u,w 满足的方程关系,并将 v 用 w,u 表示出来.
解析
1、根据题意,有点 P 的坐标为 (12,34),于是直线 l2 的斜率为 −12,直线 l1 的斜率为 2.设直线 l1 的倾斜角为 θ,则 sin2θ=45,根据双曲线的焦点弦长公式,有|AB|=6|3−4⋅45|=30.
2、设 A(x0,y0),M(x1,y1),N(−x1,−y1),则k1=y0x0−2,因为直线 l2 垂直直线 l1,故 l2 的直线方程为 y=−1k1(x−2),代入 x=12,可得点 P 的坐标 P(12,32k1),所以有k2=32k1−y012−x0=3(x0−2)2y0−y012−x0=3x0−6−2y20(1−2x0)y0=3x0−6−2(3x20−x)(1−2x0)y0=3x0y0,从而k1+k2=y0x0−2+3x0y0=y20+3x0(x0−2)(x0−2)y0=6x20−6x0−3(x0−2)y0,且k1k2=y0x0−2⋅3x0y0=3x0x0−2,又直线 OP 的斜率kOP=yPxP=3k1,联立直线 OP 与双曲线 C 的方程可得(k21−3)x2−k21=0,于是所以x21=k21k21−3=y2012x0−15,所以 k3+k4=y1−y0x1−x0+−y1−y0−x1−x0=2x1y1−2x0y0x21−x20=6k1x21−2x0y0x21−x20=6(x0−2)y012x0−15−2x0y0y2012x0−15−x20=−12y0(2x20−3x0+1)y20−(12x0−15)x20=−12y0(2x20−3x0+1)−3(4x30−6x20+1)=4y0(2x0−1)(x0−1)(2x0−1)(2x20−2x0−1)=4y0(x0−1)2x20−2x0−1=4(x0−1)13(k1+k2)(x0−2)=2k1k2+6k1+k2,因此w=2v+6u⟹v=12uw−3.