设 a,b,c 为实数，函数 f(x)=acosx+bcos2x+ccos3x．
1、当 b=1，c=0 时，求函数 f(x) 的最小值．
2、若 f(x) \geqslant-1 恒成立，求 a+b+c 的最大值及对应的所有数组 (a, b, c)．
解析
1、当 b=1，c=0 时，有f(x)=a\cos x+\cos 2x=2\cos^2x+a\cos x-1,设 g(x)=2x^2+a-1，其对称轴为 x=-\dfrac a2，因此所求为 g(x) 在 x\in [-1,1] 上的最小值，为\begin{cases} g(-1),&-\dfrac a2\in(-\infty,-1),\\ g\left(-\dfrac a2\right),&-\dfrac a2\in [-1,1],\\ g(1),&-\dfrac a2\in (1,+\infty),\end{cases}~\text{即}~\begin{cases} 1+a,&a\in (-\infty,-4),\\ -1-\dfrac18a^2,&a\in [-4,4],\\ 1-a,&a\in (4,+\infty).\end{cases}
2、根据题意，有f(x)=a\cos x+b(2\cos^2x-1)+c(4\cos^3x-3\cos x),记 g(x)=ax+b(2x^2-1)+c(4x^3-3x)，则 \forall x\in [-1,1],~g(x)\geqslant -1，于是\begin{cases} g( -1)=-a+b-c,\\ g(0)=-b,\\ g(1)=a+b+c,\end{cases}可得\begin{cases} a+b+c=g(1)\geqslant -1,\\ a+b+c=-\left(2g(0)+g(-1)\right)\leqslant 3,\end{cases}接下来探索 a+b+c=3 的条件．由于 x=0,-1 都是方程 g(x)+1=0 的实数解，而在 x\in [-1,1] 上，有 g(x)+1\geqslant 0，因此 x=0 是函数 g(x) 的极小值点，从而g(x)+1=4cx^2(x+1)\iff \begin{cases} 1-b=0,\\ a+2b-3c=0,\\ 2b=4c,\end{cases}\iff \begin{cases} a=\dfrac 32,\\ b=1,\\ c=\dfrac 12,\end{cases}因此 a+b+c 的最大值为 3，对应的数组 (a,b,c)=\left(\dfrac 32,1,\dfrac 12\right)．