每日一题[3125]不对称亦换元

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $P\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$（$x_0>0$）处的切线为 $l$．

1、证明：$l$ 与曲线 $y=f(x)$ 有一个异于点 $P$ 的交点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$，且 $x_1<0$．

2、在第 $(1)$ 小题的条件下，求 $\dfrac{x_0}{x_1}$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-x,$$ 于是其在 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程为 $$y=\left({\rm e}^{x_0}-x_0\right)x+{\rm e}^{x_0}(1-x_0)+\dfrac12x_0^2,$$ 考虑函数 $$g(x)={\rm e}^x-\dfrac12x^2-\left({\rm e}^{x_0}-x_0\right)x+{\rm e}^{x_0}(x_0-1)-\dfrac 12x_0^2,$$ 其导函数 $$g'(x)={\rm e}^x-x-{\rm e}^{x_0}+x_0,$$ 其二阶导函数 $$g''(x)={\rm e}^x-1,$$ 于是 $g'(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，又当 $x\to \pm\infty$ 时，均有 $g(x)\to +\infty$，因此 $g'(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上有零点，记为 $m$，因此 $g(x)$ 满足 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,m)&m&(m,x_0)&x_0&(x_0,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&\text{极大值}&\searrow&0&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,m)$ 有零点 $x_1$，对应于 $l$ 与曲线 $y=f(x)$ 有一个异于点 $P$ 的交点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$，且 $x_1<0$，命题得证．

2、根据题意，有 $$\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f'(x_0)\iff \dfrac{{\rm e}^{x_1}-{\rm e}^{x_0}}{x_1-x_0}-\dfrac{x_1+x_0}2={\rm e}^{x_0}-x_0,$$ 也即 $${\rm e}^{x_1-x_0}-1-\dfrac 12(x_1-x_0)^2{\rm e}^{-x_0}-(x_1-x_0)=0,$$ 设 $x_0-x_1=m$，$\dfrac{-x_1}{x_0-x_1}=t$，则 $m>0$ 且 $0<t<1$，且 $$1+(m-1){\rm e}^m-\dfrac 12m^2{\rm e}^{mt}=0,$$ 设 $g(x)=1+(x-1){\rm e}^x-\dfrac 12x^2{\rm e}^{tx}$，则该函数在 $x\in (0,+\infty)$ 上有零点．函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=\dfrac 12x{\rm e}^{tx}\left(2{\rm e}^{(1-t)x}-tx-2\right),$$ 设 $h(x)=2{\rm e}^{(1-t)x}-tx-2$，则其导函数 $$h'(x)=2(1-t){\rm e}^{(1-t)x}-t,$$ 注意到 $h'(0)=2-3t$，$h'(x)$ 单调递增，讨论分界点为 $t=\dfrac 23$． [[case]]情形一[[/case]] $0<t\leqslant \dfrac 23$．此时在 $x\in (0,+\infty)$ 上，$h(x)>0$，结合 $g(0)=0$，可得在该区间上 $g(x)>0$，不符合题意． [[case]]情形二[[/case]] $\dfrac 23<t<1$．此时 $h'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点 $p$，在区间 $(0,p)$ 上，有 $h'(x)<0$，$h(x)$ 单调递减，$h(x)<0$，进而 $g(x)$ 单调递减，$g(x)<0$，而当 $x\to +\infty$ 时，$g(x)\to +\infty)$，因此 $g(x)$ 在 $(p,+\infty)$ 上有零点，符合题意． 综上所述，实数 $t$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 23,1\right)$，对应 $\dfrac{x_0}{x_1}$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 12,0\right)$．