每日一题[3123]极端情形

已知曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 与直线 $l: x-y-1=0$ 交于 $A, B$ 两点，记直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点 $E$，点 $E, F$ 关于原点对称，若 $\angle A F B=90^{\circ}$，则（       ）

A．$2 a^{2}+b^{2}=a^{2} b^{2}$

B．曲线 $C$ 过 $ 4$ 个定点

C．存在实数 $a$，使得 $|A B|=3$

D．$|A B|<\dfrac{7}{2}$

答案    ABC．

解析    根据题意，有 $E(1,0)$，$F(-1,0)$．以 $F$ 为原点平移坐标系，化齐次联立可得\[\begin{cases} \dfrac{(x'-1)^2}{a^2}+\dfrac{y'^2}{b^2}=1,\\ y'=x'-2,\end{cases}\implies \dfrac{x'^2}{a^2}+\dfrac{y'^2}{b^2}-\dfrac 2{a^2}\cdot x'\cdot \dfrac{x'-y'}2+\left(\dfrac 1{a^2}-1\right)\cdot \left(\dfrac{x'-y'}2\right)^2=0,\]由 $F'A\perp F'B$，可得\[\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{2}{a^2}+\left(\dfrac1{a^2}-1\right)\cdot\left(\dfrac 14+\dfrac 14\right)=0\iff \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{b^2}=1,\]因此选项 $\boxed{A}$ 成立．进而曲线恒过点 $\left(1,\pm\sqrt 2\right)$，$\left(-1,\pm\sqrt 2\right)$，选项 $\boxed{B}$ 成立． 对于选项 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$，当 $a\to +\infty$ 时，曲线趋于平行直线 $y=\pm \sqrt 2$，此时 $|AB|\to 4$；当 $a\to 1$ 时，曲线趋于平行直线 $x=\pm 1$，此时 $|AB|\to 2\sqrt 2$，因此 $|AB|$ 的取值范围是 $\left(2\sqrt 2,4\right)$，选项 $\boxed{C}$ 正确，选项 $\boxed{D}$ 错误． 综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 成立．