每日一题[3053]对称图形

已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，上顶点为 $B$，线段 $B F$ 的中垂线交 $C$ 于 $M,N$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$，$\dfrac{|B P|}{|P O|}=2$，$\triangle B M N$ 的周长为 $16$，则椭圆的标准方程为_______．

答案    $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$．

解析    设 $BF$ 的中点为 $Q$，$MN$ 与 $x$ 轴交于点 $E$，连接 $BE,MF,NF$，如图．

由于 $|BQ|=|QF|$，$|BP|=2|PO|$，可得 $|OE|=|OF|$，因此 $E$ 是椭圆 $C$ 的左焦点，进而

$$|EF|=|EB|=|BF|,$$ 因此 $\triangle BEF$ 是正三角形，椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac 12$．而 $\triangle BMN$ 与 $\triangle FMN$ 全等，因此 $\triangle MNF$ 的周长为 $16$，也即 $4a=16$，可得 $a=4$，所以椭圆的标准方程为 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$．