已知函数 f(x)=(lnx+1)x−mx2+m.
1、若 f(x) 单调递减,求 m 的取值范围.
2、若 f′(x) 的两个零点分别为 a,b,且 2a<b,证明:ab2>32e6.
解析
1、函数 f(x) 的导函数f′(x)=lnx−2mx+2,因此∀x>0, lnx−2mx+2⩽即\forall x>0,~m\geqslant \dfrac{\ln x+2}{2x},设 g(x)=\dfrac{\ln x+2}{2x},则其导函数g'(x)=\dfrac{-\ln x-1}{2x^2},于是函数 g(x) 的最大值为g\left({\rm e}^{-1}\right)=\dfrac{\rm e}2,从而 m 的取值范围是 \left[\dfrac{{\rm e}}2,+\infty\right).
2、根据题意,有\begin{cases} \ln a-2ma+2=0,\\ \ln b-2mb+2=0,\end{cases}\implies \begin{cases} \ln a=2ma-2,\\ \ln b=2mb-2,\end{cases}于是ab^2>\dfrac{32}{{\rm e}^6}\iff \ln a+2\ln b>5\ln 2-6\iff 2ma+4mb>5\ln 2,令 \dfrac ba=t,则2ma=\dfrac{\ln t}{t-1},\quad 2mb=\dfrac{t\ln t}{t-1},因此欲证命题即\forall t>2,~\dfrac{1+2t}{t-1}\ln t>5\ln 2,设 h(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\ln x,则 h(2)=5\ln 2,因此只需要证明 h(x) 在 (2,+\infty) 上单调递增. 函数 h(x) 的导函数h'(x)=\dfrac{2x^2-x-1-3x\ln x}{x(x-1)^2},只需要证明\forall x>2,~2x^2-x-1-3x\ln x>0,即\forall x>2,~\ln x<\dfrac{(2x+1)(x-1)}{3x},根据对数的进阶放缩,当 x>2 时,有\ln x<\dfrac{(x+1)(x-1)}{2x}<\dfrac{(2x+1)(x-1)}{3x},命题得证.