每日一题[3033]参数表达

如图,长方形 $A B C D$ 中,$A B=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$,$A D=1$,点 $E$ 在线段 $A B$(端点除外)上,现将 $\triangle A D E$ 沿 $D E$ 折起为 $\triangle KD E$.设 $\angle A D E=\alpha$,二面角 $K-D E-C$ 的大小为 $\beta$,若 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$,则四棱锥 $K-B C D E$ 体积的最大值为_______.

答案    $\dfrac 14$.

解析    作 $AM\perp DE$ 于 $M$,连接 $KM$,如图.

根据题意,有 $AM\perp DE$ 且 $KM\perp DE$,进而 $|KM|=|AM|=\sin\alpha$,于是\[d(K,DEBC)=|KM|\cdot \sin\beta=\sin\alpha\cos\alpha,\]因此四棱锥 $K-BCDE$ 的体积\[\begin{split} [K-BCDE]&=\dfrac 13d(K,DEBC)\cdot [DEBC]\\ &=\dfrac 13\cdot \sin\alpha\cos\alpha \left(\dfrac{\sqrt {15}}2-\dfrac 12\tan\alpha\right)\\ &=\dfrac 1{12}\left(\sqrt{15}\sin2\alpha+\cos2\alpha-1\right)\\ &\leqslant \dfrac{1}{4},\end{split}\]等号当 $2\alpha+\arctan\dfrac{1}{\sqrt{15}}=\dfrac{\pi}2$ 时取得,因此所求最大值为 $\dfrac 14$.

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