每日一题[3033]参数表达

如图，长方形 $A B C D$ 中，$A B=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$，$A D=1$，点 $E$ 在线段 $A B$（端点除外）上，现将 $\triangle A D E$ 沿 $D E$ 折起为 $\triangle KD E$．设 $\angle A D E=\alpha$，二面角 $K-D E-C$ 的大小为 $\beta$，若 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$，则四棱锥 $K-B C D E$ 体积的最大值为_______．

答案    $\dfrac 14$．

解析    作 $AM\perp DE$ 于 $M$，连接 $KM$，如图．

根据题意，有 $AM\perp DE$ 且 $KM\perp DE$，进而 $|KM|=|AM|=\sin\alpha$，于是

$$d(K,DEBC)=|KM|\cdot \sin\beta=\sin\alpha\cos\alpha,$$ 因此四棱锥 $K-BCDE$ 的体积 $$\begin{split} [K-BCDE]&=\dfrac 13d(K,DEBC)\cdot [DEBC]\\ &=\dfrac 13\cdot \sin\alpha\cos\alpha \left(\dfrac{\sqrt {15}}2-\dfrac 12\tan\alpha\right)\\ &=\dfrac 1{12}\left(\sqrt{15}\sin2\alpha+\cos2\alpha-1\right)\\ &\leqslant \dfrac{1}{4},\end{split}$$ 等号当 $2\alpha+\arctan\dfrac{1}{\sqrt{15}}=\dfrac{\pi}2$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac 14$．