每日一题[3024]调和平均性质

已知 $F_1, F_2$ 分别是双曲线 $C_1: x^2-y^2=2$ 的左、右焦点，过 $F_2$ 的直线交双曲线右支于 $P, A$ 两点，点 $P$ 在第一象限．

1、求点 $P$ 横坐标的取值范围．

2、线段 $P F_1$ 交圆 $C_2:(x+2)^2+y^2=8$ 于点 $B$，记 $\triangle P F_2 B, \triangle A F_2 F_1, \triangle P A F_1$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S$，求 $\dfrac{S}{S_1}+\dfrac{S}{S_2}$ 的最小值．

解析

1、过 $F_2$ 且与双曲线渐近线平行的直线 $x\pm y=2$ 与双曲线的交点为 $\left(\dfrac 32,\pm\dfrac 12\right)$，因此点 $P$ 横坐标的取值范围是 $\left(\dfrac 32,+\infty\right)$．

2、根据双曲线的定义，有

$$|PF_1|-|PF_2|=2\sqrt 2\implies |PF_1|-|PF_2|=|F_1B|\implies |PB|=|PF_2|,$$ 设 $|PF_2|=m$，$|AF_2|=n$，则 $\dfrac mn$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$，根据焦半径的调和平均性质，有 $$\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac{2a}{b^2}=\sqrt 2,$$ 因此 $$\begin{split} \dfrac{S}{S_1}+\dfrac{S}{S_2}&=\dfrac{|PF_1|}{|PB|}\cdot \dfrac{|PA|}{|PF_2|}+\dfrac{|PA|}{|AF_2|}\\ &=\dfrac{m+2\sqrt 2}m\cdot \dfrac{m+n}{m}+\dfrac{m+n}n\\ &=\left(1+\dfrac{2\sqrt 2}{m}\cdot \dfrac{\sqrt 2mn}{m+n}\right)\cdot \dfrac{m+n}m+\dfrac{m+n}n\\ &=2+\dfrac {5n}m+\dfrac mn\\ &=2+2\sqrt 5,\end{split}$$ 等号当 $\dfrac mn =\sqrt 5$ 时取得，因此所求最小值为 $2+2\sqrt 5$．