每日一题[3019]迭代不动点

已知 $\{a_n\}$ 不是常数列，$a_n\ne 0$，$a_1=u$，$a_{n+1}=a_n+\sin (2a_n)+\lambda$，是否对任意正数 $\varepsilon$，都存在 $u,\lambda,N$（$u,\lambda\in\mathbb R$，$N\in\mathbb N^{\ast}$），使得当 $n>N$ 时，有 $|a_n-1|<\varepsilon$？

解析    取 $\lambda=-\sin 2$，$u=\dfrac{\pi}4$，设 $f(x)=x+\sin(2x)-\sin 2$，则在 $x\in\left[\dfrac{\pi}4,1\right)$ 上，$f(x)$ 单调递增且 $f(x)>x$，因此 $\{a_n\}$ 单调递增趋于 $1$，证明如下．考虑当 $x\in\left[\dfrac{\pi}4,1\right)$ 时，有

$$\dfrac{\pi}4\leqslant x<f(x)<1,$$ 于是 $\dfrac{\pi}4\leqslant a_n<1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）且 $\{a_n\}$ 单调递增，又 $$\dfrac{1-f(x)}{1-x}=\dfrac{1-x-\sin(2x)+\sin 2}{1-x}=1-\dfrac{\sin (2x)-\sin2}{1-x}\leqslant 1-\dfrac{\sin\dfrac{\pi}2-\sin 2}{1-\dfrac{\pi}4}<\dfrac 12,$$ 因此 $$1-a_{n+1}<\dfrac{1}{2^n}(1-a_1)<\dfrac 1{2^n},$$ 因此取 $N=\left[\log_2\dfrac{1}{\varepsilon}\right]+1$，则当 $n>N$ 时，有 $$|a_n-1|=1-a_n<\varepsilon,$$ 命题得证．