每日一题[3010]配方

已知函数 $f(x)=4x^4-6tx^3+(2t^2+6)x^2-3tx+1$（$x>0$），若 $f(x)$ 的最小值为 $0$，则 $t=$ （        ）

A．$\sqrt{2}$

B．$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

C．$\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$

D．$2\sqrt{2}$

答案    D．

解析    如果 $t\leqslant 0$，那么当 $x>0$ 时，$f(x)>0$，所以 $t>0$．$f(x)$ 的最小值为 $0$，等价于 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立，且可以取得等号，注意到 $$\begin{split} \dfrac{f(x)}{2x^2} &=2x^2-3tx+(t^2+3)-\frac{3t}{2x}+\frac{1}{2x^2}\\ &=\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}x}\right)^2-\frac{3t}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}x}\right)+t^2+1\\ &=\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}x}-\frac{3t}{2\sqrt{2}}\right)^2+1-\frac{t^2}{8}, \end{split}$$ 因此由函数 $f(x)$ 的最小值为 $0$，可得 $t=\sqrt 2$，此时关于 $x$ 的方程 $$\sqrt x+\dfrac{1}{\sqrt 2x}-3=0$$ 有解，符合题意，因此 $t=2\sqrt 2$．