已知等边三角形 ABC,点 E,F 分别是边 AB,AC 上的动点,且满足 EF∥BC,将 △AEF 的顶点 A 沿 EF 翻折至 P 点处.如图,记二面角 P−EF−B 的平面角为 α,二面角 P−FC−B 的平面角 β,直线 PF 与平面 EFCB 所成角为 γ,则( )
A.α⩾
B.\alpha\geqslant \gamma \geqslant \beta
C.\beta\geqslant \alpha\geqslant \gamma
D.\beta\geqslant \gamma \geqslant \alpha
答案 A.
解析 如图,设 P 在底面投影为 M,PH\perp AC 于 H,连接 MH,PH.
根据题意,有\tan\alpha=\dfrac{|PM|}{|MN|},\quad \tan\beta=\dfrac{|PM|}{|MH|},\quad \tan\gamma=\dfrac{|PM|}{|MF|},显然 |MF|\geqslant |MN| 且 |MF|\geqslant |MH|,接下来比较 |MH| 和 |MN| 的大小.考虑到|MN|\leqslant |AN|\implies [\triangle ANF]\geqslant [\triangle MNF]\implies [\triangle AMF]\geqslant [\triangle MEF],于是\dfrac 12 |MH|\cdot |AF|\geqslant \dfrac 12 |MN|\cdot |EF|\implies |MH|\geqslant |MN|,因此 \alpha\geqslant \beta\geqslant \gamma,选项 \boxed{A} 正确.