每日一题[3005]折叠轨迹

已知等边三角形 ABC,点 E,F 分别是边 AB,AC 上的动点,且满足 EFBC,将 AEF 的顶点 A 沿 EF 翻折至 P 点处.如图,记二面角 PEFB 的平面角为 α,二面角 PFCB 的平面角 β,直线 PF 与平面 EFCB 所成角为 γ,则(       )

A.α

B.\alpha\geqslant \gamma \geqslant \beta

C.\beta\geqslant \alpha\geqslant \gamma

D.\beta\geqslant \gamma \geqslant \alpha

答案    A.

解析    如图,设 P 在底面投影为 MPH\perp ACH,连接 MH,PH

根据题意,有\tan\alpha=\dfrac{|PM|}{|MN|},\quad \tan\beta=\dfrac{|PM|}{|MH|},\quad \tan\gamma=\dfrac{|PM|}{|MF|},显然 |MF|\geqslant |MN||MF|\geqslant |MH|,接下来比较 |MH||MN| 的大小.考虑到|MN|\leqslant |AN|\implies [\triangle ANF]\geqslant [\triangle MNF]\implies [\triangle AMF]\geqslant [\triangle MEF],于是\dfrac 12 |MH|\cdot |AF|\geqslant \dfrac 12 |MN|\cdot |EF|\implies |MH|\geqslant |MN|,因此 \alpha\geqslant \beta\geqslant \gamma,选项 \boxed{A} 正确.

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