每日一题[2990]参数转化

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}x+\dfrac 1x+x$ 的图象上有 $3$ 个点 $M,N,P$，横坐标分别为 $x_1,x_2,1$．

1、 求函数 $f(x)$ 在 $P$ 处的切线 $l$ 的方程．

2、若直线 $MN\parallel l$，求证：$2<\dfrac 1{x_1}+\dfrac{1}{x_2}<{\rm e}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x^2-\ln x}{x^2},\]于是 $f(1)=2$，$f'(1)=1$，从而函数 $f(x)$ 在 $p$ 处的切线 $l$ 的方程为 $y=x+1$．

2、设直线 $MN:y=x+a$，则\[\dfrac{1+\ln x_1}{x_1}=\dfrac{1+\ln x_2}{x_2}=a,\]问题可以转化为已知 $x_1(1-\ln x_1)=x_2(1-\ln x_2)=a$（$x_1<x_2$），求证：\[2<x_1+x_2<{\rm e}.\]设函数 $g(x)=x(1-\ln x)$，则其导函数\[g'(x)=-\ln x,\]于是函数 $ g(x)$ 满足\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&0&\nearrow&1&\searrow&-\infty\\ \hline\end{array}\]因此 $0<a<1$，且 $0<x_1<1<x_2<{\rm e}$．只需要证明函数 $h_1(x)=g(x)-g(2-x)$ 在 $(0,1)$ 上满足 $h_1(x)<0$，函数 $h_2(x)=g(x)-g({\rm e}-x)$ 在 $(0,1)$ 上满足 $h_2(x)>0$．由于 $g''(x)=-\dfrac 1x$，于是\[h_1''(x)=g'(x)-g''(2-x)=-\dfrac 1x+\dfrac{1}{2-x}>0,\]且\[h_2''(x)=g''(x)-g''({\rm e}-x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{\rm e}-x},\]于是在 $(0,1)$ 上，$h_1(x)$ 单调递增，$h_2(x)$ 先递增后递减，结合 $h_1(1)=0$，$h_2(0)=0$，$h_2(1)>0$，命题得证．